驻定相位原理（POSP）的简单应用

在SAR雷达成像中，POSP是相当基础重要的一个定理，一般在对回波做傅里叶变换时经常用到，一般在论文的开头就会出现。
下面简单复习一下POSP的步骤：
1：列出傅里叶变换表达式
2：对相位在驻定相位点处泰勒展开
3：对相位求一阶导数，令其为0，求出驻定相位点
4：将泰勒展开式代入傅里叶变换式中
5：换元凑菲涅尔积分
6：算出积分，代入驻定相位点
对于这样一个论文片段：

我们求傅里叶变换：
S(fr,tm)=exp(−j4πfccR(tm))∫exp(−j(ωt−πγ(t−2R(tm)c)2))(1)S(f_r,t_m)=\text{exp}(-j\frac{4\pi f_c}{c}R(t_m))\int \text{exp}\left(-j\left(\omega t-\pi \gamma (t-\frac{2R(t_m)}{c})^2 \right) \right) \tag{1} S(fr,tm)=exp(−jc4πfcR(tm))∫exp(−j(ωt−πγ(t−c2R(tm))2))(1)
对相位泰勒展开：
ϕ=ωt−πγ(t−2R(tm)c)2≈ϕ(tk)+ϕ′(tk)(t−tk)+ϕ′′(tk)2(t−tk)2+⋯(2)\phi =\omega t-\pi \gamma(t-\frac{2R(t_m)}{c})^2 \approx \phi (t_k)+\phi'(t_k)(t-t_k)+\frac{\phi''(t_k)}{2}(t-t_k)^2+\cdots \tag{2} ϕ=ωt−πγ(t−c2R(tm))2≈ϕ(tk)+ϕ′(tk)(t−tk)+2ϕ′′(tk)(t−tk)2+⋯(2)
由驻定相位原理（POSP）:
ϕ′(tk)=ω−2πγ(tk−2R(tm)c)=0⇒tk=ω2πγ+2R(tm)c(3)\phi'(t_k)=\omega-2\pi\gamma(t_k-\frac{2R(t_m)}{c})=0 \Rightarrow t_k=\frac{\omega}{2\pi \gamma}+\frac{2R(t_m)}{c} \tag{3} ϕ′(tk)=ω−2πγ(tk−c2R(tm))=0⇒tk=2πγω+c2R(tm)(3)
把（2）代入（1）:
S(fr,tm)=exp(−j4πfccR(tm))exp(−j(ωtk−ω24πγ))∫exp(jπγ(t−tk)2)dt(4)S(f_r,t_m)=\text{exp}\left( -j\frac{4\pi f_c}{c}R(t_m)\right) \text{exp}\left( -j(\omega t_k-\frac{\omega^2}{4\pi \gamma})\right) \int \text{exp}\left( j\pi \gamma (t-t_k)^2\right)dt\tag{4} S(fr,tm)=exp(−jc4πfcR(tm))exp(−j(ωtk−4πγω2))∫exp(jπγ(t−tk)2)dt(4)
对积分式凑菲涅尔积分可得：
∫exp(jπγ(t−tk)2)dt≈2exp(jπ4)(5)\int\text{exp}\left( j\pi \gamma (t-t_k)^2\right)dt \approx \sqrt{2}\text{exp}(j\frac{\pi}{4})\tag{5} ∫exp(jπγ(t−tk)2)dt≈2exp(j4π)(5)
代入(5)(3)代入(4)得：
S(fr,tm)=2exp[−j4πc(fr+fc)R(tm)]exp[−j(πfr2γ−π4)](6)S(f_r,t_m)=\sqrt{2} \text{exp}[-j\frac{4\pi}{c}(f_r+f_c)R(t_m)]\text{exp}[-j(\frac{\pi f_r^2}{\gamma}-\frac{\pi}{4})]\tag{6} S(fr,tm)=2exp[−jc4π(fr+fc)R(tm)]exp[−j(γπfr2−4π)](6)

利用快速POSP进行推导

(可参看我的另一篇博客)当我们对系数C1C_1C1和常值相位±π4\pm\frac{\pi}{4}±4π不感兴趣时，可以跳过繁琐的泰勒展开和凑微分过程，利用时频关系快速得出频域表达式。
可知相位为：
θ(t)=πγ[t^−2R(tm)c]2−4πfccR(tm)−2πfrt^(7)\theta(t)=\pi\gamma[\hat{t}-\frac{2R(t_m)}{c}]^2-\frac{4\pi f_c}{c}R(t_m)-2\pi f_r \hat{t}\tag{7} θ(t)=πγ[t^−c2R(tm)]2−c4πfcR(tm)−2πfrt^(7)
利用POSP，求其一阶导数，令其为零：
θ˙(t)=2πγ[t^−2R(tm)c]−2πfr=0(8)\dot{\theta}(t)=2\pi\gamma[\hat{t}-\frac{2R(t_m)}{c}]-2\pi f_r=0\tag{8} θ˙(t)=2πγ[t^−c2R(tm)]−2πfr=0(8)
可得时频关系：
t^=frγ+2R(tm)c(9)\hat{t}=\frac{f_r}{\gamma}+\frac{2R(t_m)}{c}\tag{9} t^=γfr+c2R(tm)(9)
计算Θ(f)\Theta(f)Θ(f):
Θ(f)=−πfr2γ−4π(fr+fc)R(tm)c(10)\Theta(f)=-\pi\frac{f_r^2}{\gamma}-4\pi(f_r+f_c)\frac{R(t_m)}{c}\tag{10} Θ(f)=−πγfr2−4π(fr+fc)cR(tm)(10)
可以看到，与图片中(2)式中的相位一模一样！

参考文献：
[1]邢涛,胡庆荣,李军,王冠勇.机载毫米波高分辨大斜视合成孔径雷达成像[J].浙江大学学报(工学版),2015,49(12):2355-2362.

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