经典DP：测试鸡蛋承受力

现有鸡蛋N个，M层楼，要测试这批鸡蛋的承受力，即测试这批鸡蛋最多从几楼扔下去后没事，最少测试几次能保证测出蛋的承受力。

这题要“最少”“保证”测出这批蛋的承受力。因此，我们要找到所有方式的最坏情况中次数最小的。

代码思维上可以这么理解

for 方式i in 所有方式:for 情况j in 所有情况:通过找到所有情况中最大次数，找到最坏情况通过比较最坏情况的最小值，找到最好的方式

比如：我可以每次一层层扔，也可以每次两层层扔。但是，如果现在在第二层，那么扔一次就到了，如果在100层，那要扔100次。因此要考虑最坏情况，就像考虑时间复杂度最小的算法一样。

很明显，只要扔一个鸡蛋下去，就能判断承受力>或< 此楼层，从此排除另一半楼层，这跟二分不是很像么！
可能很多人上来就要用二分法。但是，这就是这道题的经典之处之一了——这不像经典的二分法可以进行，因为鸡蛋个数有限。如果鸡蛋只有1个，你从m/2楼丢下去碎了，没鸡蛋了，那还测什么。。。所以二分法只是鸡蛋个数足够时的左临界值。

因此很容易想到搜索，如果用搜索，第一个蛋从第k层扔下去，有100种可能性，然后往剩余楼层扔。时间复杂度接近O(m^n),指数级的复杂度显然打扰了。

还是先看看状态，如果从第k层丢一个鸡蛋下去，会有两种情况

1. 蛋碎了：那么下一次需要测[原最底层, k-1]，若每次把最底层看成1，那么，需要测k-1层楼。蛋数-1

2. 蛋不碎：那么下一次需要测[k +1, 原最顶层]，若设最顶层为m，需要测m- k层楼。蛋数不变

而且，每次丢一个蛋后，都会有新的最底层跟最高层，即新的第1层跟第m层，这种子结构容易考虑到动态规划了

由于倒着考虑反而难，因为最后一个蛋比较特殊，必须保证它碎的一瞬间是找到楼层，也就是说，一层层丢，所以我们从倒数第二个蛋考虑，发现前面的状态也可以用，就是碎不碎的问题。

由于题目给出变量有两个，一般来说，状态也至少有两个变量。

设剩余需要测的层数为m，此时可以用层数来代表状态，设f(m, n)为剩余m层，n个鸡蛋下，保证测出承受力的最小次数

状态为f(m, n) = min( 之前最小的方式也即f(m, n)，max(f(k-1, n-1), f(m-k, n))) 其中n > 1

注意边界：

这式子也很容易看出边界之一，即每个f(m, n)必须赋最大的初值（可以是无限大），保证能找到最小的f(m, n)

另外，还有一个边界，就是，只有一个鸡蛋时，只能一层层扔

技巧：对所有f(m, n)赋值层数m，可以同时解决两个问题，因为此初始化的值是一层层丢的值，也是最大值。

下面给出Java版的代码：

import java.util.Scanner;public class eggsLimit {public int eggsPrint(int M, int N){if(M <= 1 || N < 1)return 0;int[][] array = new int[M + 1][N + 1];//必须先初始化，因为会用到边界的数据，同时，能把其他值初始化，数组默认为0,Min肯定是0//此初始化的值刚好是此层的最大值， 你愿意分为边界n = 1时然后所有初始值为INF也行for(int m = 1; m <= M; m++){for(int n = 1;  n <= N; n++){//把每层最大次数初始化为层数array[m][n] = m;}}for(int m = 1; m <= M; m++){for(int n = 2;  n <= N; n++){//枚举从第几层丢for(int k = 1; k <= m; k++){//每层找到最大的a[m][n],代表最坏的可能性,所有a[m][n]中找到最小的。代表最好的选k方式 array[m][n] = Math.min(array[m][n], 1 + Math.max(array[k - 1][n - 1], array[m - k][n]));}}}return array[M][N];}public static void main(String arg[]){eggsLimit e = new eggsLimit();Scanner scan = new Scanner(System.in);int M = scan.nextInt();int N = scan.nextInt();int result = e.eggsPrint(M, N);System.out.print(result);}}

时间复杂度为O(M*M*N)，空间复杂度为O(M*N)。由于每次只需要每种情况的最坏情况比较，若使用滚动数组，可以使空间复杂度降到O(M)，具体代码就不再给出

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经典DP：测试鸡蛋承受力

注意边界：

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