数学分析(5): 导数

导数的概念

导数的定义

|| 引入导数概念的两个问题：（两个比值（y与x的比值）的差的极限）

瞬时速率：设一个物体作直线运动，运动规律为s=s（t），t0是某一确定的时刻，t为临近t0的时刻，则v0 = [ s(t) - s(t0) ] / [ t - t0 ]为平均速度，此时引入极限的概念，当t—>t0时，则lim_t–>t0v0 称为物体在t0时刻的瞬时速度
切线的斜率：斜率公式为： f（x）-f（x0） / （x - x0）— 两个比值的差的极限

形如以上两种类型的极限叫做导数

|| 定义一：导数的定义
设函数y = f(x) ，在点x0的某领域内有定义，若极限 lim_x–>x0 [ ( f(x) - f(x₀) / (x - x₀) ] 存在，则称函数f在x0处可导，并称该极限为函数f的在点x₀上的导数，记作f ^'（x₀）

|| 定义一的另一种形式：引入增量描述
令x = x₀ + △x，则极限 lim_x–>x0 [ ( f(x) - f(x₀) / (x - x₀) ]，可以写成 lim_x–>x0 [ ( f(x₀ + △x) - f(x₀) / (△x) ]，即 lim_△x–>0 (△y / △x)
因此导数也就是增量比的极限，同上面总结出来的导数概念。
又因为增量比即函数关于自变量的平均变化率，故我们称f在x0上的导数为f在点x0上的变化率。

|| 导数的几何意义：
导数本身的几何意义：某点上的导数其实就是这一点上的切线斜率

|| 可导性的定义：（几何意义）
若极限 lim_x–>x0 [ ( f(x) - f(x₀) / (x - x₀) ] 存在，则称其在x0上可导。
根据海涅准则，即两个y/x极其相近，即两个切线的斜率极其相近

|| 有限增量公式：
推导：因为g = f^’(x₀) - △y/△x，是当△x–>0时的无穷小量，故有g△x = o(△x)，代入原式即得函数 f 在x0的有限增量公式

|| 定理1：可导性与连续性的关系（由有限增量公式推得）
若函数在x0上可导，那么它在x0上连续
（注意：这是充分条件，只可以可导性推出连续性，连续性无法推出可导性）

|| 定理1的理解：
可导性中的△y/△x相关的极限若存在，那么点x=x0 和点x = x0+▲x上两个y/x（即斜率）应该极其接近（柯西准则），x极其接近的情况下，则两点位置（y）也应该极其接近，此时根据柯西准则就推出了连续性
但是连续性存在时，能说明两点位置（y）应该极其接近，但是函数该点上的切线斜率不一定相近。

|| 定义二：单侧导数的概念
设函数 f（x）在x0的某右邻域（x0，x0+∂）内有定义，若右极限

存在则称该函数右可导，，该极限值为f在x0右放的右导数，记作 f^’ ₊（x0）。

|| 定理2：左右导数与导数的关系
设函数y = f(x) ，在点x0的某领域内有定义，则f^’(x0)存在的充要条件是，左右导数存在且相等

|| 可导函数的定义：
在函数的定义域内每一个点都可导，则改函数为可导函数

|| 导函数的定义：
可导函数 f 上的每一个自变量，都对应着一个导数，这样就定义了一个在定义域内的函数，称其为f在定义域上的导函数，有时也称为导数，记作f '，y ‘，dy / dx
（注意：导数有时指自增比的那个极限，有时指导函数）

|| 定义三：极值的定义
设函数 f（x）在x0的某邻域U（x0）内有定义，对一切∈U（x0）有f（x0）≥ f（x），则称 f 在x0处取得极大值f（x0），x0为 f 的极大值点

|| 定理3：费马定理（极值点的导数定理）
设函数 f（x）在x0的某邻域U（x0）内有定义，且在x0处可导，，若该点为f的极值点，则有：f ’ (x0) = 0；

|| 费马定理的几何意义：
若函数在极值点可导，那么该点上的切线与x轴平行。

|| 定理4：达布定理（导函数的介质性定理）
若函数f 在[a, b]上可导，且f ’ (a) != f ’ (b)， k为介于f ’ (a)和f ’ (b)之间的任一实数，则必能在[a，b]上找到一个数c，满足f ’ © = k

求导法则

|| 导数的四则运算：

|| 反函数的导数

|| 复合函数的导数

|| 参变量函数的导数

|| 基本初等函数的导数总结：

高阶导数

|| 加法式高阶导数公式：

|| 乘法式高阶导数公式：莱布尼茨公式（类似二项式展开）

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