【数模学习笔记】【线性规划】巧用0-1变量

说明：本人是只挣扎在数模海洋里的小可怜，只是记录一下学习感悟。以下内容是在学习司守奎《数学建模算法与应用》(第三版) P21-23时的笔记。

1. 0-1变量的基本用法：0-1变量的特征就是仅能取0或者1，0表示不选、消去一项；1表示选中、保留一项。

2. 合并约束条件、目标函数中的 “或”、“分类讨论”、“分段”
先强调几个点，之后的例子会用到：
a. $\sum_{}^{}y_{i}=k$ ，表示有k个变量取1、其余取0
b. $1\times \bigcirc =\bigcirc$
若 $\bigcirc =+\infty$ ，则 $\le 1\times \bigcirc \iff \le +\infty$ ，可解除约束上限
若 $\bigcirc=-\infty$ ，则 $\ge 1\times \bigcirc \iff \ge -\infty$ ，可解除约束下限
若 $\bigcirc =0^{+}$ ，则 $\ge 1\times \bigcirc \iff >0$ ，以0为下限
c. $0\times \bigcirc =0$
d. 当双边不等式上下限相等时，双边不等式等价于一个等式

例1： $x_1 =0$ 或 $500\le x_1 \le 800$ $\Longrightarrow$ $\left\lbrace \begin{array}{ll} 500y\le x_1 \le 800y & \\ y=0\;\mathrm{or}\;1 & \end{array}\right.$

分析： $y=0$ 时，双边不等式 $500y\le x_1 \le 800y$ 双边都取0，则双边不等式等价于等式 $x_1 =0$ $y=1$ ；时，1乘以任何数仍为其本身，则双边不等式等价于 $500\le x_1 \le 800$

例2：如果有m个相互排斥的约束条件：

$\sum_{j=1}^n a_{\mathrm{ij}} x_j \le b_i \;,i=1,2,\cdots ,m$

使这m个约束条件仅有k个起作用，则引入m个0-1变量 $y_i$ 和一个充分大的常数M，将上述约束转化为：

$\sum_{j=1}^n a_{\mathrm{ij}} x_j \le b_i +M\left(1-y_i \right)\;,i=1,2,\cdots ,m$

$\sum_{i=1}^m y_i =k$

分析： $y_i =1$ 时， $\sum_{j=1}^n a_{\mathrm{ij}} x_j \le b_i +M\left(1-y_i \right)\Longrightarrow \sum_{j=1}^n a_{\mathrm{ij}} x_j \le b_i$ 则该约束条件起作用
$y_i =0$ 时， $\sum_{j=1}^n a_{\mathrm{ij}} x_j \le b_i +M\left(1-y_i \right)\Longrightarrow \sum_{j=1}^n a_{\mathrm{ij}} x_j \le +\infty$ 则该约束条件不起作用
$\sum_{i=1}^m y_i =k$ 限制了仅有k个变量可以取1，即仅有k个约束条件起作用

例3：固定成本问题
某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高，则由于产量大分配到每件产品的变动成本就低；反之，如选定的生产方式投资低，则将来分配到每件产品的变动成本可能增加。因此需要全面考虑。今设三种方式可供选择，令
$j$ 分别表示三种生产方式；
$x_{j}$ 表示采用第 $j$ 种方式时的产量；
$c_{j}$ 表示采用第 $j$ 种方式时每件产品的的变动成本；
$k_{j}$ 表示采用第 $j$ 种方式时的固定成本。

分析：由题，第 $j$ 种生产方式的总成本为

$P_j =\left\lbrace \begin{array}{ll} k_j +c_j x_j \;, & x_j >0\\ 0 & x_j =0 \end{array}\right.\;\;,j=1,2,3$

使三种生产方式成本之和最小，则目标函数写为

$min\;\;\sum_{j=1}^3 P_j$

这时候我们便注意到一个问题，由于固定成本 $k_j$ 的存在， $P_j$ 是一个分段函数，因此目标函数的表达式不便于进一步明晰。故在决策变量 $x_j$ 基础上再引入0-1变量 $y_j$ ，则目标函数写为

$min\;\;\sum_{j=1}^3 y_j \left(k_j +c_j x_j \right)$

注意两套决策变量 $x_j$ 、 $y_j$ 间是有联系的， $y_j =1$ 表示采用第 $j$ 种方式生产，则 $x_j >0$ ； $y_j =0$ 表示不采用第 $j$ 种方式生产，则 $x_j =0$ ，故需再添加约束条件描述这种联系：

$\left\lbrace \begin{array}{ll} y_j \varepsilon \le x_j \le y_j M\;, & j=1,2,3\\ y_j =0\;\;\mathrm{or}\;1\;, & j=1,2,3 \end{array}\right.$

式中， $\varepsilon$ 是个充分小的正常数，M是个充分大的正常数。
（解释一下这个约束条件， $y_j=1$ 时， $y_j \varepsilon \le x_j \le y_j M\Longrightarrow 0^+ \le x_j \le +\infty \Longrightarrow x_j >0$ ； $y_j =0$ 时， $y_j \varepsilon \le x_j \le y_j M\Longrightarrow 0\le x_j \le 0\Longrightarrow x_j =0$ ）

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