傅里叶积分、傅里叶变换的matlab实现.doc

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院 校： 物理与电子科学学院

班 级： 0801 班

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目 录

1. 引言………………………………………………………………………………

2. 理论推导…………………………………………………………………………

2.1傅里叶级数 ……………………………………………………………………

2.2傅里叶积分及傅里叶变换 ……………………………………………………

2.3傅里叶积分、傅里叶变换的应用 ……………………………………………

2.3.1

2.3.2对长度为的细杆导热问题的研究…………………………………………

2.3.3

3. matlab模拟结果…………………………………………………………………

4. 总结………………………………………………………………………………

5. 参考文献…………………………………………………………………………

傅里叶积分、傅里叶变换及其应用的matlab实现

摘要：根据傅里叶积分、傅里叶变换理论，计算了若干例题，并利用此理论模拟了无限长细竿、有限长细竿的导热问题及波动方程的定解条件问题，做出了细竿导热情况的图像。

关键词：傅里叶积分 傅里叶变换 热传导 定解问题

1. 引言

计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂问题的一门学科。傅里叶积分及傅里叶变换在物理学中有着重要的应用，而其运算相对繁琐，利用计算机技术可以方便地帮助我们解决这一问题，大大节省时间，提高研究效率。

傅里叶积分及傅里叶变换作为重要的计算方法被应用在物理学中的各个领域。如量子力学、电动力学等等。

我们选择用matlab解决傅里叶变换的计算问题；绘制出有限长和无限长细竿热传导温度分布图像，并对其作深入分析；解决波动方程定解条件的问题。

2.理论推导

2.1傅里叶级数

若函数以为周期，即

则，将展开为级数

其中

若是定义在上的非周期函数，则可以采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在上，。然后再对作傅里叶级数展开，使级数和在区间上代表。

2.2傅里叶积分及傅里叶变换

傅里叶积分实际上是把定义在上的非周期函数进行积分形式的展开。即把展开为如下形式：

其中

第一个式子是傅里叶积分表达式，第二组式子为傅里叶变换式。

把傅里叶积分写成复数形式就为

傅里叶变换为

下面举两道例题。

例1 求矩形函数的傅里叶变换，其中

解

例2 求的傅里叶变换，其中，定义在上。

解

2.3傅里叶积分、傅里叶变换的应用

基于maltab在数学物理方法中利用分离变数(傅里叶级数)法求解一维(线性)热传导方程问题的研究，在一维细杆热传导问题的研究将细杆分为有限长度与无限长度两方面来求解问题。

2.3.1对无限长的细杆导热问题的研究

无限长细杆的热传导的定解问题：

细杆上任意一点的温度是时间t和位置x的函数u(x,t)

泛定方程

初始条件

利用傅里叶级数求得细杆上任意一点的温度为：

若取初始温度分布设为

一个高度为一得矩形脉冲波；

则得到

2.3.2对长度为的细杆导热问题的研究

讨论有限长度的细杆，在一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类边界条件下的热传导问题的研究。

有限长细杆热传导定解问题就是将上述无限细杆的长度有限化，对取一确定有限值：

泛定方程

边界条件

初始条件

当，，时，解得

将上述问题具体化为，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为,杆上的温度均匀()，零度温度一端保持温度不变()，另一端跟外界温度绝热()，这细杆上温度随时间与空间变化的函数关系设为。

细杆上温度综合上述条件：

泛定方程

边界条件

初始条件

由齐次方程的定解问题的求解方法求得

将上述参数具体化，设定，，则可化为

2.3.3

一根长为两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离 ，然后放手任其自由振动，写出它的初始条件。

时各点的位移由图中折线确定，所以

研究两端固定均匀弦的自由振动,即定解问题是：

它的解是：

其中

对于有限长的弦，如果在讨论的时间范围内，边界的影响还没有到达，则产生的现象与无限长的弦是一样的。

3. matlab模拟结果

图1为例题1傅里叶变换的函数图像

图1

图2为例题2傅里叶变换的函数图像

图2

图3为无限长杆温度随时间和空间变化的瀑布图

图3

从图3中可以看出，在开始时刻，温度分布在原点附近定义为一个脉冲函数，在沿着细杆的方向上，温度逐渐降低形成一个平缓的波包，并向周围传导，如果时间足够长，最终细杆上的温度为零。在前面的程序上加上以下程序，则图4表示杆上温度暂停0.1s时刻的传导情况：

图4

图5为有限长杆温度传导函数的图像

图5

由于初始