14.6 普里姆算法

14.6.1 应用场景-修路问题

看一个应用场景和问题：

有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路: 将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小。

正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。
这个问题我们一会在解决，先来看看普里姆算法相关的东西。

14.6.2 最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

N 个顶点，一定有 N-1 条边
包含全部顶点
N-1 条边都在图中
举例说明(如图)
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

14.6.3 普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:

设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合
若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1
若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边
提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解。
图解普利姆算法

接下来我们真正解决修路问题

14.6.4 普里姆算法最佳实践(修路问题)

问题：

有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

代码实现

import java.util.Arrays;
/*** @author zk* @version 1.0.0* @ClassName PrimAlgorithm.java* @Description TODO 普利姆算法求最小生成树(修路问题，求总长最小的方案)* @createTime 2021年09月30日 15:29:00*/
public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {//测试看看图是否创建 okchar[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int vertex = data.length;//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通int[][] weight = new int[][]{{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};//创建 MGraph 对象MGraph graph = new MGraph(vertex);//创建一个 MinTree 对象MinTree minTree = new MinTree();minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight);//输出minTree.showGraph(graph);//测试普利姆算法minTree.prim(graph, 1);//}
}class MinTree {//创建图的邻接矩阵/*** @param graph  图对象* @param vertex 图对应的顶点个数* @param data   图的各个顶点的值* @param weight 图的邻接矩阵*/public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char[] data, int[][] weight) {for (int i = 0; i < vertex; i++) {graph.data[i] = data[i];for (int j = 0; j < vertex; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}//显示图的邻接矩阵public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}System.out.println();}//编写 prim 算法，得到最小生成树/*** @param graph 图* @param v     表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...*/public void prim(MGraph graph, int v) {//visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问过  /visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问int[] visited = new int[graph.vertex];// 把当前节点标记为已访问visited[v] = 1;// h1和h2 记录两个顶点的下表int h1 = -1;int h2 = -1;int minWeight = 10000; // 将minWeight 初始成一个大数，后面遍历的时候会被替换for (int k = 1; k < graph.vertex; k++) { //因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.vertex-1 边for (int i = 0; i < graph.vertex; i++) {for (int j = 0; j < graph.vertex; j++) {if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);visited[h2] = 1;minWeight = 10000;}}
}class MGraph {int vertex; // 表示图的节点个数char[] data; // 存放节点数据int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵public MGraph(int vertex) {this.vertex = vertex;this.data = new char[vertex];weight = new int[vertex][vertex];}
}

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