拉盖尔多项式 matlab,类氢原子的定态波函数

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预备知识　球坐标系中的定态薛定谔方程，原子单位制

本文使用原子单位制．类氢原子(hydrogen-like atom)被定义为原子核有 $Z$ 个质子(核电荷为 $+Ze$)有一个核外电子的原子/离子，例如氢原子和失去一个电子的氦原子 $\mathrm{He}^+$，失去两个电子的锂离子 $\mathrm{Li}^{++}$．

类氢原子的定态薛定谔方程为

\begin{equation}

-\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \frac{Z}{r} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = E \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )

\end{equation}

类氢原子是唯一存在解析解的原子(离子)．

我们这里只讨论束缚态，即 $E < 0$ 的解．从数学上，$E$ 取小于零的任意值时我们都能找到解，但只有当 $E$ 取特定离散值的时候这些波函数才能归一化(否则没有物理意义)．由于类氢原子具有球对称性，球坐标下的波函数具有最简单的形式．波函数的表达式为

\begin{equation}

\psi_{nlm} (r,\theta ,\phi) = R_{nl}(r) Y_{l,m}(\theta, \phi)

\end{equation}

其中 $n$ 是主量

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