中国剩余定理（孙子定理）

中国剩余定理，也称孙子定理，是中国古代求解一次同余式组的重要方法。

《孙子算经》里面的"物不知数"说的是这样的一个题目：一堆东西不知道具体数目，3个一数剩2个，5个一数剩3个，7个一数剩2个，问一共有多少个。
书里面给了计算过程及答案：70*2 + 21*3 + 15*2 -105*2 = 23。

它的计算思路如下：
70是能被5或7整除的数字，但是除以3正好余1。
21是能被3或7整除的数字，但是除以5正好余1。
15是能被3或5整除的数字，但是除以7正好余1。
所以若有数N = 70 * N1 + 21 * N2 + 15 * N3(其中N,N1,N2,N3为正整数)，则整数N是符合题目要求的结果(mod3为N1，mod5为N2， mod7为N3)。
我们把N1赋值2，N2赋值3，N3赋值2。
则: N = 70*2 + 21*3 + 15*2 = 233。
但是3，5，7的最小公倍数为105。
所以N + 105*M均为正解。
因此为了求得最小正整数解，我们需要用(N mod 105)也就是23了。

而中国剩余定理就是解决上述问题的通用方法，模板如下。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)//拓展欧几里得 (可处理负数版本)
{if (b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int ans = exgcd(b, a%b, x, y);int TT = x;if (a*b < 0){x = -y;y = a / b*y - TT;}else{x = y;y = TT - a / b*y;}return ans;//ans是a，b的最大公约数
}int chinasolve(int a[],int m[],int k)//除数即m数组必须都是素数
{int mm = 1;int result = 0;for (int i = 0; i < k; i++){mm *= m[i];}for (int j = 0; j < k; j++){int L, J;                     // Ni%mi=1↓     ↓因为Ni能被m1, m2,...,mi-1, mi+1,...,mk整除exgcd(mm / m[j], -m[j], L, J);// mi*J + 1  =  mm/mi *L  ==> (-mi)*J + mm/mi*L = 1result += (m[j] * J + 1)*a[j];//70*2 + 21*3 + 15*2 = 233。}return (result%mm + mm) % mm;//此处mm实际上是最小公倍数，但是因为m数组都是素数，所以最小公倍数就是mm
}

a数组里存的是所要求的余数，m数组则是对应的除数。例如文章开头那道题，调用函数的方法如下。

int main()
{  int a[3] = {2, 3, 2};  int m[3] = {3, 5, 7};      cout<<"结果:"<<calSYDL(a, m, 3)<<endl;
}

输出的结果便是满足题目要求的最小数，23。

中国剩余定理（孙子定理）相关推荐

中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解
<孙子算经>里面的"物不知数"说的是这样的一个题目:一堆东西不知道具体数目,3个一数剩2个,5个一数剩3个,7个一数剩2个,问一共有多少个. 书里面给了计算过程及答案: ...
中国剩余定理(孙子定理)(精华详细版！)
问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 简单点说就是,存在一个数x,除以3余2,除以5余三,除以7余二,然后求这个数.上面给出了解法.再明白这个解法的原理之前,需要 ...
孙子定理c语言程序,中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解
<孙子算经>里面的"物不知数"说的是这样的一个题目:一堆东西不知道具体数目,3个一数剩2个,5个一数剩3个,7个一数剩2个,问一共有多少个. 书里面给了计算过程及答案: ...
中国剩余定理 (孙子定理) 的证明和代码
目录 [引入] [中国剩余定理] [代码实现] [借鉴于] [引入] <孙子算经>里有这样一个题目:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 术曰:" ...
中国剩余定理——孙子定理
孙子定理是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理. 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以 ...
中国剩余定理(孙子定理)详解
为什么发现了这个定理,这要源于一道题淮安民间传说着一则故事--"韩信点兵",其次有成语"韩信点兵,多多益善".韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一 ...
中国剩余定理matlab程序,中国剩余定理即孙子定理的五种解法
中国剩余定理即孙子定理的五种解法 -- 学习初等数论心得笔记 2013-10-04 博文2015-12修改 "中国剩余定理"是公元5-6世纪.我国南北朝时期的一部著名算术著作< ...
中国剩余定理即孙子定理的五种解法
加深一下理解,找了点纯数学的资料(老者善学,尤老骥伏枥,况乎我也): "中国剩余定理"是公元5-6世纪.我国南北朝时期的一部著名算术著作<孙子算经>中的一个" ...
FJNU2018低程A 逃跑路线（Lucas + 中国剩余定理 + LGV定理）题解
题目描述 n个人在w*h的监狱里面想要逃跑,已知他们的同伙在坐标(bi,h)接应他们,他们现在被关在(ai,1)现在他们必须要到同伙那里才有逃出去的机会,这n个人又很蠢只会从(x,y)->(x+ ...
算法——中国剩余定理（孙子定理）
借15级上机的一道题数论の重逢来总结一下中国剩余定理先举一个小例子问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 说明白一点就是说,存在一个数x,除以3余2,除以5余三 ...

中国剩余定理（孙子定理）

中国剩余定理（孙子定理）相关推荐

最新文章

热门文章