一、理论基础

1、基本的TLBO算法

请参考这里。

2、改进的TLBO算法

（1）自适应教学因子

经过一段学习时间后，学员掌握的知识越来越多，与教师的差距就变得越来越小，学习效率明显下降，学到的知识少且慢。在优化算法中，TF\text{TF}TF值小，则表明算法探索能力强，但搜索能力弱；TF\text{TF}TF值大，则表明算法探索能力弱，但搜索能力强。为了解决此问题，对TLBO算法中教学因子做了改进，提出一种自适应教学因子，随着迭代次数的增加使TF\text{TF}TF线性递减，具体表达式由下式给出：TF(t)=12[(TFmax⁡−TFmin⁡)⋅(tmax⁡−titmax⁡)2+(TFmax⁡−TFmin⁡)⋅(tmax⁡−titmax⁡)]+TFmin⁡(1)\text{TF}(t)=\frac12\left[(\text{TF}_{\max}-\text{TF}_{\min})\cdot\left(\frac{t_{\max}-t_i}{t_{\max}}\right)^2+(\text{TF}_{\max}-\text{TF}_{\min})\cdot\left(\frac{t_{\max}-t_i}{t_{\max}}\right)\right]+\text{TF}_{\min}\tag{1}TF(t)=21[(TFmax−TFmin)⋅(tmaxtmax−ti)2+(TFmax−TFmin)⋅(tmaxtmax−ti)]+TFmin(1)其中，TFmax⁡\text{TF}_{\max}TFmax和TFmin⁡\text{TF}_{\min}TFmin分别表示教学因子的最大值和最小值，tmax⁡t_{\max}tmax为最大迭代次数，tit_iti为当前迭代次数。
从式(1)可以看出，TF\text{TF}TF的值在搜索前期大，后期小。在算法搜索前期，学员学习效率高，学到的知识多而快。较大的TF\text{TF}TF有利于增强算法的全局探索能力，加快算法的收敛速度。随着迭代的进行，学习效率明显下降，学到的知识少且慢，较小的TF\text{TF}TF有利于增强算法的局部探索能力，使算法搜索向最优解靠拢，从而获得更高精度的解。

（2）改进的学员阶段

学员通过不同的方式提高自己的知识水平：1）学员之间的相互学习，学员之间可以有对象地选择比自己成绩好的学员学习，从而达到提升自己水平的目的；2）通过老师的意见学习：老师会根据学生的学习情况制定相应的学习目标，在这过程中学员对所学知识可能存在误解，还需不断地求教于老师才能很好地完成学习目标。这样，在学员和老师的共同帮助下学习，使学习效率明显提高，从而加强了算法的收敛速度。这一阶段的学习现象由下式表示：Xnew,i={Xi+ri⋅(Xi−Xj)+ri⋅(Xteacher−TF(t)⋅Xi),f(Xi)<f(Xj)Xi+ri⋅(Xj−Xi)+ri⋅(Xteacher−TF(t)⋅Xi),f(Xi)>f(Xj)(2)X_{\text{new},i}=\begin{dcases}X_i+r_i\cdot(X_i-X_j)+r_i\cdot(X_{\text{teacher}}-\text{TF}(t)\cdot X_i),\quad f(X_i)<f(X_j)\\X_i+r_i\cdot(X_j-X_i)+r_i\cdot(X_{\text{teacher}}-\text{TF}(t)\cdot X_i),\quad f(X_i)>f(X_j)\end{dcases}\tag{2}Xnew,i={Xi+ri⋅(Xi−Xj)+ri⋅(Xteacher−TF(t)⋅Xi),f(Xi)<f(Xj)Xi+ri⋅(Xj−Xi)+ri⋅(Xteacher−TF(t)⋅Xi),f(Xi)>f(Xj)(2)其中，rir_iri是[0,1][0,1][0,1]的随机数，XiX_iXi和Xnew,iX_{\text{new},i}Xnew,i分别表示第iii个学员学习前和学习后的知识水平，XjX_jXj表示第jjj个学员学习前的知识水平。

（3）ITLBO算法步骤

Step 1：设定种群规模NNN，最大迭代次数MMM，决策变量的范围(xiL,xiU)(x_i^\text{L},x_i^\text U)(xiL,xiU)，教学因子TF\text{TF}TF和维数DDD。
Step 2：根据种群规模和决策变量初始化种群，并计算适应度值。
Step 3：教师阶段。学员在教师的帮助下提高知识水平，数学表达式参照基本TLBO算法和式(1)。
Step 4：学员阶段。学员在自身努力及相互帮助下提高知识，数学表达式在式(2)中给出。
Step 5：终止准则。如果达到最大迭代次数停止，否则重复步骤3和步骤4。

二、数值仿真实验与分析

为了验证ITLBO算法的有效性，将其与基本TLBO算法进行对比，以文献[1]中表1的6个测试函数为例。两种算法共同参数为：种群规模N=50N=50N=50，维数D=100D=100D=100，最大迭代次数M=1000M=1000M=1000。ITLBO算法中的教学因子最大最小值分别为TFmax⁡=2\text{TF}_{\max}=2TFmax=2和TFmin⁡=1\text{TF}_{\min}=1TFmin=1。两种算法对6个无约束测试函数进行30次独立数值实验，结果显示如下：

函数：F1
TLBO：最差值: 6.8473e-234, 最优值: 3.0079e-240, 平均值: 2.7273e-235, 标准差: 0, 秩和检验: 1.2118e-12
ITLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F2
TLBO：最差值: 5.0383e-234, 最优值: 1.2676e-239, 平均值: 4.2254e-235, 标准差: 0, 秩和检验: 1.2118e-12
ITLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F3
TLBO：最差值: 2.0556e-113, 最优值: 4.8209e-117, 平均值: 1.2033e-114, 标准差: 3.8784e-114, 秩和检验: 3.0199e-11
ITLBO：最差值: 2.6617e-208, 最优值: 1.5996e-215, 平均值: 1.4563e-209, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F4
TLBO：最差值: 4.4409e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.204e-15, 标准差: 9.0135e-16, 秩和检验: 7.1518e-13
ITLBO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F5
TLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
ITLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F6
TLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
ITLBO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN

结果表明，ITLBO算法不论是在收敛速度还是在寻优精度上均优于TLBO算法。

三、参考文献

[1] 岳振芳, 高岳林. 一种改进的教与学优化算法[J]. 兰州理工大学学报, 2015, 41(6): 99-103.

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