概率论与数理统计——随机变量及其分布

文章目录

随机变量与分布函数
- 1.随机变量
- 2.分布函数
- 3.由分布函数求概率
随离散型随机变量及其分布
- 1.一维离散型随机变量
- 2.分布律
- 3.离散型随机变量
- 4.重要分布
连续型随机变量
- 1.连续型随机变量的概率密度
- 2.连续型随机变量的概率密度函数f(x)f(x)f(x)的性质
- 3.连续型随机变量的概率密度与分布函数以及事件概率的关系
- 4.重要分布
随机变量函数的分布
- 1.离散型随机变量函数的分布
- 2.连续型随机变量函数的分布

随机变量与分布函数

1.随机变量

设E是一个随机试验，其样本空间为Ω={ω}，如果对于每一个样本点ω∈Ω，都有唯一一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为一维随机变量，通常用X,Y,Z,···表示随机变量。
通俗来讲，随机变量就是在每次试验结束后我们所关注的与结果有关的变量。（例如：我们在掷骰子时，我们往往可能关注的是每次掷完骰子后两骰子的点数之和，而不会在意具体两枚骰子的点数，像这种“两骰子的点数之和”变量就可以是这个试验的随机变量）

2.分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数

基本性质
（1）单调性：F(x)是一个单调不减的函数，即当x1<x2时，F(x1)<F(x2)
（2）有界性：0≤F(x)≤1，且

F(+∞)=lim⁡x−>+∞F(x)=1F(+\infty)=\lim_{x->+\infty }F(x)=1F(+∞)=limx−>+∞F(x)=1 F(−∞)=lim⁡x−>−∞F(x)=0F(-\infty)=\lim_{x->-\infty }F(x)=0F(−∞)=limx−>−∞F(x)=0

（3）连续性：F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续函数（x+0这里为x处的右极限）

3.由分布函数求概率

P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X≤a}=F(b)−F(a)P\{a<X≤b\}=P\{X≤b\}-P\{X≤a\}=F(b)-F(a)P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X≤a}=F(b)−F(a)

随离散型随机变量及其分布

1.一维离散型随机变量

若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个（或者该随机变量X的概率1以一定规律分布在各个可能的值上），则称X为离散型随机变量

2.分布律

离散型随机变量X所有可能取值为xkx_{k}xk（kkk=1,2,···），事件{xkx_{k}xk}的概率为P{xkx_{k}xk}=pkp_{k}pk（kkk=1,2,···），则称P{X=xkx_{k}xk}=pkp_{k}pk（kkk=1,2,···）为X的分布律或分布列。
分布律也可以写成表格形式：

X	x1x_{1}x1 x2x_{2}x2 ⋅⋅⋅···⋅⋅⋅ xkx_{k}xk ⋅⋅⋅···⋅⋅⋅
P	p1p_{1}p1 p2p_{2}p2 ⋅⋅⋅···⋅⋅⋅ pkp_{k}pk ⋅⋅⋅···⋅⋅⋅

离散型随机变量的分布律的性质：

（1）P{X=xkx_{k}xk}=pkp_{k}pk≥0, kkk=1,2,···

（2）∑k\sum_{k}∑kP{X=xkx_{k}xk}=∑kpk\sum_{k}p_{k}∑kpk=1

3.离散型随机变量

（1）如果已知X的分布律为P{X=xkx_{k}xk}=pkp_{k}pk（kkk=1,2,···），则X的分布函数

F(x)=P{X≤xk}=∑xk≤xpkF(x)=P\{X≤x_{k}\}=\sum_{x_{k}≤x}p_{k}F(x)=P{X≤xk}=∑xk≤xpk

而事件{a<X≤b}的概率为

P{a<X≤b}=∑a<xk≤bpkP\{a<X≤b\}=\sum_{a<x_{k}≤b}p_{k}P{a<X≤b}=∑a<xk≤bpk

（2）如果已知X的分布函数F(x)，则X的分布律为

P{X=xkx_{k}xk}=F(xkx_{k}xk)-F(xk−0x_{k}-0xk−0)
（ps：xk-0这里为xk处的左极限，可以理解为xk减去了一个无穷小）

4.重要分布

（1）(0-1)分布

其分布律为

X	1 0
P	p 1-p

其中事件A 发生的概率为p，0<p<1.

（2）二项分布
设在n重伯努利试验中事件A发生的次数为X，则

P{X=k}Cnkpkqn−k,k=0,1,⋅⋅⋅,nP\{X=k\}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,···,nP{X=k}Cnkpkqn−k,k=0,1,⋅⋅⋅,n

其中p为事件A在每次试验中出现的概率，q=1-p，称随机变量X服从二项分布记作

XXX~B(n,p)B(n,p)B(n,p)

适用于：eg：在n重伯努利试验中事件A发生k次的概率

（3）泊松分布
设随机变量X的分布律为：

P{X=k}=λke−λk!（k=1,2,⋅⋅⋅）P\{X=k\}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!}（k=1,2,···）P{X=k}=k!λke−λ（k=1,2,⋅⋅⋅）

其中λ>0是常数，则称X服从λ的泊松分布，记为

XXX~π(λ)或P(λ)π(λ)或P(λ)π(λ)或P(λ)

参数λ是单位时间或单位面积内随机事件的平均发生次数，k为实际发生次数
适用于：eg：单位时间内事件的平均发生次数λ，事件实际发生k次的概率

泊松定理： 设随机变量Xn~B(n,p)，若lim⁡n→∞npn\lim_{n\rightarrow \infty }np_{n}limn→∞npn=λ>0，则有

lim⁡n→∞Cnipni(1−pn)n−i=λii!e−λ\lim_{n\rightarrow \infty }C^{i}_{n}p^{i}_{n}(1-p_{n})^{n-i}=\frac{λ^{i}}{i!}e^{-λ}limn→∞Cnipni(1−pn)n−i=i!λie−λ

由泊松定理，二项分布可以用泊松分布作为近似。

超几何分布
设随机变量X的分布列是

P{X=i}=CMiCN−Mn−ii!P\{X=i\}=\frac{C^{i}_{M}C_{N-M}^{n-i}}{i!}P{X=i}=i!CMiCN−Mn−i，（i=0,1,2,⋅⋅⋅，l；l=min{n,m}）（i=0,1,2,···，l；l=min\{n,m\}）（i=0,1,2,⋅⋅⋅，l；l=min{n,m}）

其中M，N，n都是自然数，且n<N，M<N,则称X服从参数为N、M、n的超几何分布，记作X~H(N,M,n)。

适用于：eg：共有N件物品，其中M件是特异，从中取出n件物品，其中有i件是特异的概率

几何分布
设随机变量X的分布列为

P{X=i}=(1−p)i−1p，i=1，2，⋅⋅⋅P\{X=i\}=(1-p)^{i-1}p，i=1，2，···P{X=i}=(1−p)i−1p，i=1，2，⋅⋅⋅

其中0<p<1，则称X服从参数p的几何分布，记为X~G(p)
适用于：eg：某事件在试验中发生概率为p，一直重复这个试验直到该事件发生了才停止，试验总数为i的概率

连续型随机变量

1.连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，有F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty }^{x}f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率密度（或分布密度）。

2.连续型随机变量的概率密度函数f(x)f(x)f(x)的性质

（1）f(x)≥0f(x)≥0f(x)≥0；

（2）∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty }f(x)dx=1∫−∞+∞f(x)dx=1；

3.连续型随机变量的概率密度与分布函数以及事件概率的关系

（1）若X的概率密度为f(x)f(x)f(x)，则X的分布函数为F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt，当f(x)f(x)f(x)为分段函数时其分布函数F(x)F(x)F(x)要做分段讨论；

（2）若f(x)f(x)f(x)在点x出连续，则有F‘(x)=f(x)F`(x)=f(x)F‘(x)=f(x)；

（3）P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}P\{a<X≤b\}=P\{a<X<b\}=P\{a≤X<b\}=P\{a≤X≤b\}P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}

（4）P{X=a}=0(−∞<a<+∞)P\{X=a\}=0(-\infty <a<+\infty )P{X=a}=0(−∞<a<+∞)

4.重要分布

（1）均匀分布：若连续型随机变量X的概率密度函数为

f(x)={1b−a,a≤x≤b0,elsef(x)=\left\{\begin{matrix} & \frac{1}{b-a} &,a≤x≤b \\ &0& ,else \end{matrix}\right.f(x)={b−a10,a≤x≤b,else

则称X服从[a,b]上的均匀分布（如下图）

（2）指数分布：若连续型随机变量X的概率密度函数为

f(x)={λe−λx,x>00,elsef(x)=\left\{\begin{matrix} & λe^{-λx}&,x>0 \\ &0& ,else \end{matrix}\right.f(x)={λe−λx0,x>0,else

其中λ>0,则称X服从参数为λ的指数分布（如下图）

（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度函数为

f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}πσ}e^{-\frac{(x-μ)^{2}}{2σ^{2}}}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2 (−∞<x<+∞)(-∞<x<+∞)(−∞<x<+∞)

其中μ和σ>0都是常数，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，简记为X~N(μ,σ2^{2}2).（如下图）

（4）标准正态分布
对于正态分布，当μ=0、σ=1时称X服从标准正态分布，简记为X~N(0,1)，其概率密度函数和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有

φ(x)=12πe−x22φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2}π}e^{-\frac{x^{2}}{2}}φ(x)=2π1e−2x2

Φ(x)=12π∫−∞xe−t22dtΦ(x)=\frac{1}{\sqrt{2}π}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dtΦ(x)=2π1∫−∞xe−2t2dt

（如下图）

性质一： Φ(-x)=1-Φ(x)

性质二： 当X~N(μ,σ2^{2}2)时，U=X−μσ\frac{X-μ}{σ}σX−μ ~N(0,1).即F(x)=Φ(X−μσ)F(x)=Φ(\frac{X-μ}{σ})F(x)=Φ(σX−μ).

随机变量函数的分布

1.离散型随机变量函数的分布

设随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,3,⋅⋅⋅P\{X=x_{k}\}=p_{k},k=1,2,3,···P{X=xk}=pk,k=1,2,3,⋅⋅⋅，则当Y=g(X)的所有取值为yj（j=1,2,⋅⋅⋅）y_{j}（j=1,2,···）yj（j=1,2,⋅⋅⋅）时，随机变量Y有分布律

P{Y=yk}=∑g(xk)=yjP{X=xk}P\{Y=y_{k}\}=\sum_{g(x_{k})=y_{j}}P\{X=x_{k}\}P{Y=yk}=∑g(xk)=yjP{X=xk}

2.连续型随机变量函数的分布

（1）设随机变量X的概率密度函数为fX(x)(−∞<x<+∞)f_{X}(x)(-\infty<x<+\infty)fX(x)(−∞<x<+∞)，那么Y=g(X)的分布函数为

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}=∫g(x)<yfX(x)dxF_{Y}(y)=P\{Y≤y\}=P\{g(x)≤y\}=\int_{g(x)<y}f_{X}(x)dxFY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}=∫g(x)<yfX(x)dx，

其概率密度为fY(y)=FY‘(y)f_{Y}(y)=F_{Y}`(y)fY(y)=FY‘(y)

（2）设随机变量X具有概率密度函数fX(x)(−∞<x<+∞)f_{X}(x)(-\infty<x<+\infty)fX(x)(−∞<x<+∞)，g(x)为(-∞,+∞)内严格单调的可导函数，则随机变量Y=g(X)的概率密度为

fY(y)={fX[h(y)]∣h‘(y)∣,α<y<β0,elsef_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} f_{X}[h(y)]|h`(y)|&,α<y<β \\ 0&,else \end{matrix}\right.fY(y)={fX[h(y)]∣h‘(y)∣0,α<y<β,else

其中h(y)是g(x)的反函数，α=min{g(-∞),g(+∞)}，β=max{g(-∞),g(+∞)}