Ackerman函数（阿克曼函数）递归实现（C++）

2024-05-11 04:00:18

文章目录

一、什么是Ackerman函数（阿克曼函数）
二、递归算法实现
- 1. 设计递归方程
- 2. 确定边界条件
- 3. 编写程序代码
- 4. 运行结果展示

一、什么是Ackerman函数（阿克曼函数）

定义：

A(m,n)={n+1若m=0A(m−1,1)若m>0且n=0A(m−1,A(m,n−1))若m>0且n>0A(m,n)=\begin{cases} n+1 & 若m=0\\ A(m-1,1) & 若m>0且n=0 \\ A(m-1,A(m,n-1)) & 若m>0且n>0 \end{cases} A(m,n)=⎩⎪⎨⎪⎧n+1A(m−1,1)A(m−1,A(m,n−1))若m=0若m>0且n=0若m>0且n>0

或：

{A(1,0)=2m=0,n=1A(2,m)=1m≥0,n=0A(n,0)=n+2m=0,n≥2A(n,m)=A(A(n−1,m),m−1)m≥1,n≥1\begin{cases} A(1,0)=2 & m=0,n=1\\ A(2,m)=1 & m≥0,n=0 \\ A(n,0)=n+2 & m=0,n≥2\\ A(n,m)=A(A(n-1,m),m-1) & m≥1,n≥1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧A(1,0)=2A(2,m)=1A(n,0)=n+2A(n,m)=A(A(n−1,m),m−1)m=0,n=1m≥0,n=0m=0,n≥2m≥1,n≥1

二、递归算法实现

1. 设计递归方程

当存在两个自变量时，应当先确定一个，然后再去研究关于另一个自变量的函数变化。

当m=0m=0m=0时
- A(m,n)=n+1A(m,n)=n+1A(m,n)=n+1
当m>0m>0m>0时
- 若n=0n=0n=0，则A(m,n)=A(m−1,1)A(m,n)=A(m−1,1)A(m,n)=A(m−1,1)
- 若n>0n>0n>0，则A(m,n)=A(m−1,A(m,n−1))A(m,n)=A(m−1,A(m,n−1))A(m,n)=A(m−1,A(m,n−1))

2. 确定边界条件

此例为双重递归；其自变量为m,nm,nm,n，当m<0且n<0m<0且n<0m<0且n<0时跳出函数

3. 编写程序代码

// Ackermann函数（阿克曼函数）的递归实现算法
#include <iostream>using namespace std;int ackermann(int m, int n);int main()
{int m, n = 0;cout << "请输入第一个数m(自然数)：";cin >> m;cout << "请输入第二个数n(自然数)：";cin >> n;cout << "A(m, n) = " << ackermann(m, n) << endl;return 0;
}int ackermann(int m, int n)
{if (m == 0)return n + 1;else if (m > 0 && n == 0)return ackermann(m - 1, 1);else // else if (m > 0 && n > 0)return ackermann(m - 1, ackermann(m, n - 1));
}

4. 运行结果展示

*其它一些常见算法请参阅此链接~

最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！

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