利用电力声类比与有限元仿真方法分析亥姆霍兹共振器

阅读原文还请移步我的知乎专栏：
https://www.zhihu.com/column/c_1287066237843951616

亥姆霍兹共振器

如沈勇老师在《扬声器系统的理论与应用》一书中指出，1862年，德国物理学家、生理学家亥姆霍兹在名著《论声音的感觉》中提出的共鸣后来被称为亥姆霍兹共鸣器，且应用至今。基本的声学共鸣系统可以用亥姆霍兹共鸣器来分析。亥姆霍兹共鸣器由狭管和空腔构成，狭管长度为 $l$ ,半径为 $a$ ,截面积为 $S$ ,空腔容积为 $V$ 。玄姆霍兹共鸣器是最基本的声学共鸣系统，结构如下图所示。

它是一个密闭的内部为硬表面的容器，通过一个小的开口与外面大气相联系的结构。它的吸声原理，马大猷老师在其著作《噪声与振动控制工程手册》一书中阐述的很透彻，如下：

单个共振器可看成由几个声学作用不同的声学元件所组成，开口管内及管口附近空气随声波而振动，是一个声质量元件。空腔内的压力随空气的胀缩而变化，是一个声顺元件。而空腔内的空气在一定程度内随声波而振动，也具有一定的声质量。空气在开口壁面的振动摩擦，由于粘滞阻尼和导热的作用，会使声能损耗，它的声学作用是一个声阻，当入射声波的频率接近共振器的固有频率时，孔颈的空气柱产生强烈振动，在振动过程中，由于克服摩擦阻力而消耗声能。反之，当入射声波频率远离共振器固有频率时，共振器振动很弱，因此声吸收作用很小，可见共振器吸声系数随频率而变化，最高吸声系数出现在共振频率处。

本文的主要目的为，分别利用电力声类比与有限元仿真方法分析亥姆霍兹共振器的共振频率，验证这两种方法在声学结构分析上的有效性，以亥姆霍兹共振器为例。本文分析的亥姆霍兹共振器的具体尺寸如下图所示，单位为毫米（mm），图为利用3D建模软件SolidWorks绘制。

理论上亥姆霍兹共振器的共振频率为： $\omega=\sqrt{c^{2}\frac{S}{Vl}}$ ，代入本文具体仿真的模型尺寸，可以计算得出其共振频率应为338Hz左右。

电力声类比

利用集中参数系统电力声类比等效电路仿真的方法分析亥姆霍兹共振器的共振频率，电力声类比方法可有效分析声学元件的频响特性，虽然有效频段为中低频，对高频不敏感，但是由于该方法简洁、快捷与有效，所用也较为常用。下面几个公式是本文所用的声学部件的等效阻抗公式，分别如下文所示。

声顺

腔体的容积 $V$ 等效的声顺： $C_{av}=\frac{V}{\rho c^{2}}$ ，其中， $\rho=1.21kg/m^{3}$ 为空气密度， $c=344m/s$ 为常压下空气中的声速 $%uFF0820^{\circ}C%uFF09$ 。

声质量

孔的声质量 $M_{ah}$ ，半径为 $a$ ，当满足下面关系式时，可当作小孔：

$\frac{0.01}{\sqrt{f}}<a<\frac{10}{f}$

单孔的声质量 $M_{ah}=\frac{\rho\left( l+1.7a \right)}{\pi a^{2}}$ ，其中， $l$ 为孔的实际长度, 公式考虑了小孔两端的末端修正。

声阻

孔的声阻 $R_{ah}$ ，半径为 $a$ ，当满足下面关系式时，可当作小孔：

$\frac{0.01}{\sqrt{f}}<a<\frac{10}{f}$

单孔的声阻为 $R_{ah}=\frac{\sqrt{2\rho\eta\omega}}{\pi a^{2}}\left( \frac{l}{a}+2 \right)$ ，其中, $\omega=2\pi f$ 为角频率； $\eta$ 为空气的切变粘滞系数, 常温常压下 $\eta=1.86\times10^{-5}Ns/m^{2}$ 。

因此，本文设定的亥姆霍兹共振器的孔的直径为 $0.01m$ ，根据有效公式可以计算得出，利用该等效公式计算时，电力声仿真的有效频段为 $1Hz<f<1KHz$ ，因此仿真频段仅限于此。按照上公式分别计算亥姆霍兹共振器等效的声阻、声容与声质量，并按照如下图所示利用电流分析软件PSPICE进行搭建，形成等效电路图。

如图所示，观测到 $SPL$ 处的声压为 $20*log10(V(SPL))+94$ ，即为孔与腔体的耦合处的声压。结果如下图所示，我们可以发现，与理论计算得到的共振频率338Hz已经非常接近，毕竟本文利用的是最为简洁的等效公式。

下图为电路的电流，即为声学概念系统下，声线的体积速度，共振频率点非常明显。

Comsol有限元仿真

利用有限元数值仿真方法对亥姆霍兹共振器进行共振频率分析，仿真软件选用Comsol。

因为模型为中心轴对称，利用二维轴对称进行仿真建模，计算效率将会非常高。如下图所示为绘制的几何图形：

下图为对几何域进行网格剖分之后的图形：

利用参数扫描方法，对20Hz~1KHz进行步长为1Hz的逐点计算，声源设定为背景压力场，利用完美匹配层吸收散射声源。

下图为仿真结果，横坐标为对数坐标显示，可以发现，共振频率与理论计算和电力声仿真的结果基本吻合，即为338Hz。

继续查看有限元的仿真结果，下图为对选取的几个关键频率点生成的动态3D声压级图形，非常明显，在共振频率330Hz左右时，亥姆霍兹共振器内的声压级非常高，反观对比1KHz时，声压级显著降低。

335Hz时的3D声压级图形如下：

1KHz时的3D声压级图形如下：

结论

通过电力声类比与有限元仿真方法对亥姆霍兹共振器进行的仿真分析，可以发现，两种方法的仿真结果与理论计算基本一致，所用均验证有效，可以对实际工作中的声学结构相关工作提供有价值的指导方向。