用python编程处理线性和非线性规划问题

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用Excel求解线性规划问题
用Anaconda Jupyter Notebook求解线性规划问题(Python)
用拉格朗日方法求解以下问题

线性规划的基本思想
为求解决策变量，需要将目标函数、约束条件表达为决策变量的函数式，若约束条件和目标函数都是线性的，即表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式，表示问题最优化指标的目标函数都昌线性函数，则该问题就是线性规划的问题。
例如，在前面某工厂生产资源配置的问题中，设商品A和商品B的产量分别为x1和x2，则有决策变量:x1和x2。
目标函数（subject to，简称s.t.)﹔利润L=2x1+32最大化，记为max（L)=2x1+3x2。.所满足的约束条件:原材料甲的限量，4x1≤20﹔原材料乙的限量，4x2≤12;设备丙的限量，x1+2x2≤9;商品A和商品B的产量为正整数，x1≥0，2≥0。
由于约束条件和目标函数都是线性的，因此这是线性规划问题。
显然，对于该工厂而言，可行的生产计划有很多，线性规划所要解决的问题是在多个可行的生产计划中找出一个利润最大的，即求一组变量x1，x2的值，使其满足约束条件，并使目标函数L=2x1+3x2的值最大(即利润最大)。线性规划有很多算法，比如单纯形法、图解法、分解法等。随着计算机技术和统计软件的发展，可借助于LINGO、MATLAB、WinQSB、Exce1等多种软件求解。
由于Excel普及性最广，因此这里用Exce1对甲厨电公司市场部所面临的媒体组合问题进行线性规划求解。

用Excel求解线性规划问题

根据文件建立数据源
三要素
设日间电视、夜间电视、网络媒体、平面媒体、户外广告的使用次数依次为x1、x2、x8、4、5，咨询电话量为L，则5种媒体资源配置的三要素如下。
(1）决策变量:x1、x2、x3、4、x5。
(2)目标函数（s.t.)﹔咨询电话量L=600x1+800x2+500x3+400x4+300x5最大化。(3）所满足的约束条件:
电视广告费用不超过3万元，1000x1+2000x2≤30000。电视广告次数至少进行20次，x1+x2≥20。
广告总费用不超过4万元，1000x1+200072+400x3+1000x4+100x5≤40000。
被告知人数至少10万元人:2000x1+4000x2+3000x3+5000x4+600x5≥100000。各媒体使用次数不超过次数限量，x1≤14; x2≤8;x3≤40;x4≤5;x5≤50。各媒体使用次数均为正整数。
设置目标函数
目标函数：E2，E6和F2，F6的元素的乘积之和
对应函数：=SUMPRODUCT (E2:E6,F2:F6)
添加约束条件并规划求解
决策变量和目标函数

添加约束条件

L=600x1+800x2+500x3+400x4+300x5
1000x1+2000x2≤30000
1000x1+200072+400x3+1000x4+100x5≤40000
2000x1+4000x2+3000x3+5000x4+600x5≥100000
x1+x2≥20
x1≤14;
x2≤8;
x3≤40;
x4≤5;
x5≤50

求解

最终结果

用Anaconda Jupyter Notebook求解线性规划问题(Python)

约束条件同上
导入scipy包求解最优解和最大值

from scipy import optimize
import numpy as np
#创建矩阵，c为目标函数的矩阵，A_ub为约束条件的左边构成的矩阵，B_ub为约束条件的右边
c=np.array([600,800,500,400,300])
A_ub=np.array([[1000,2000,0,0,0],[-1,-1,0,0,0],[1000,2000,400,1000,100],[-2000,-4000,-3000,-5000,-600],[1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0],[0,0,0,1,0],[0,0,0,0,1]])
B_ub=np.array([30000,-20,40000,-100000,14,8,40,5,50])
# 求解
res=optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
print(res)

用拉格朗日方法求解以下问题

from sympy import *
# 设置变量
x,y,z,k = symbols('x,y,z,k')
a,b,c=symbols('a,b,c')
f = 8*x*y*z
g = x**2/a**2+y**2/b**2+z**2/c**2-1
#构造拉格朗日函数
L=f+k*g
#求导
dx = diff(L, x)   # 对x求偏导
print("dx=",dx)
dy = diff(L,y)   #对y求偏导
print("dy=",dy)
dz = diff(L,z)   #对z求偏导
print("dz=",dz)
dk = diff(L,k)   #对k求偏导
print("dk=",dk)
dx= 8*y*z + 2*k*x/a**2
dy= 8*x*z + 2*k*y/b**2
dz= 8*x*y + 2*k*z/c**2
dk= -1 + z**2/c**2 + y**2/b**2 + x**2/a**2
#求出个变量解
m= solve([dx,dy,dz,dk],[x,y,z,k])
print(m)
#变量赋值
x=sqrt(3)*a/3
y=sqrt(3)*b/3
z=sqrt(3)*c/3
k=-4*sqrt(3)*a*b*c/3
#计算方程的值
f = 8*x*y*z
print("方程的最大值为：",f)

结果

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