关于小波分解的滤波器理解

问：
小波分解和重构在mallat算法中采用了使用了滤波器组这样一个方法，将信号分别于不同小波所得到的高通滤波器和低通滤波器系数相卷积，然后进行下采样，得到信号的细节系数和近似系数，关于这点我有一点不是特别理解：
1，在离散小波变换中，信号是时域上的离散信号，如果跟滤波器卷积，最后得到的也应该是滤波后的时域信号啊，小波系数表征的只是信号在某一尺度上跟小波函数的一个相似程度，是一种内积的关系。
2，如果是用了滤波这样一个概念，我们可不可以这样来理解：我让信号分别通过了小波的高通和低通滤波器，如果我不经过下采样，将两个卷积结果直接相加，能得到原始信号么？（我在matlab里边改了dwt的函数试了一下，不可以）
　　我觉得可能卡在我心中的一个问题是DWT变换后，得到的细节系数（有的书直接写的细节分量）和近似系数的意义是什么？双尺度关系推导都是下一级的细节和近似系数由上一级的近似系数通过对两个滤波器系数序列的卷积下采样得到。
　　那么第一级分解我们可是直接对原始信号序列进行卷积下采样啊，那么这个时候分解得到的两组系数的意义是什么？我们按照直观理解，原始信号序列跟一个滤波器卷积，输出是滤波后的信号，这里能把系数也这么理解么，理解为信号经过小波滤波器组滤波后得到的信号么？
很感谢您帮我解答了这么多，对我也很有帮助！！！

答：
嘿嘿，这问题问的！对于第一个问题，因为DWT使用了mallat算法，这才和滤波器组联系了起来，而你第二句话（小波系数表征…）那是CWT理论对小波系数的说明，两者就不是一个体系的东西（一个是数学，一个是信号处理）。别听书上说DWT就是CWT离散了得到的，那是它没法讲清问题，实际上二者实现的方法完全不同，除了都有“小波”之外其它的都不相同；卷积和内积本来就是一回事，一个连续一个离散，一个是全部定义域，一个是局部定义域吗。“应该是滤波后的时域信号啊”这句话是对的呀，有啥可问的！本来小波变换就不是纯频域的变换，确切地讲是小波域的东西，这种变换的好处就是有时域的信息，你滤波后不就是时间信息同时又有DWT某层的尺度信息吗（这种尺度与频域信息有关联，所以可以说小波变换在时、频两域都有信息）。
第二个问题，mallat建立的算法就是要空间的能量守恒的，细节和逼近的和是原始信号，如果不进行下采样，从能量的角度是不守恒的，因为光靠卷积运算是有多余的点的，不进行下采样，这样的细节（小波空间）和逼近（尺度空间）是有交集的这样就违背了mallat算法的前提，必须在卷积过后在隔点取样去掉近一半的点才才能近似满足mallat算法的前提，DWT才能得以实际应用。
有些问题你得理一理，别把数学概念和信号处理的概念对立起来，它们有时候只是概念不同，算出来的东西却是相同的，所以人们才用滤波器的方法实现计算，因为它比单纯的数学计算简单。

追答：
根据小波的理论和mallat算法的定义，你可以认为原始信号是第0阶的小波逼近系数，这样一切都迎刃而解了！细节系数和近似系数在数学上的意义就是信号与小波基的卷积，能表现二者的相似程度，实际的信号处理的意义就是，原始信号滤波（就是卷积）后被分为高频的局部细碎信号和低频整体样貌信号，这里的两种信号按照小波数学理论讲叫小波系数，是无量纲的，而在信号处理中是滤波，是有量纲的，按道理是不应混为一谈的，但是mallat千辛万苦才找到了滤波器这个好东西，怎可放手呢！于是就有了你这个疑问，还是那句话你把数学概念和信号处理的概念对立起来了，表现为有时你把它们彼此的概念混为一谈，你可以理解为这种滤波器卷积计算是为了简便计算小波系数的一种计算方法，而不是真正地拥有通常信号滤波器意义的那种信号处理的方法。使用滤波器计算就是为了计算的简便，别和信号处理的理论扯在一起理解。
“那么第一级分解我们可是直接对原始信号序列进行卷积下采样啊，那么这个时候分解得到的两组系数的意义是什么？”从DWT的mallat算法讲，就是第一阶的小波变换的逼近和细节系数，它们值的计算是通过滤波器的卷积这种运算方法完成的。“我们按照直观理解，原始信号序列跟一个滤波器卷积，输出是滤波后的信号，这里能把系数也这么理解么，理解为信号经过小波滤波器组滤波后得到的信号么？”同样的一组数字，按照小波理解在数学上叫细节和逼近，在信号处理的运算方面叫滤波后的信号，前一种定义突出其小波的数学意义，后一种定义突出其实现方法的信号处理方法，实际就是不同角度定义同一个东西。所以你的这句话是对的，滤波后的信号从数值上理解就是小波系数，但它们的物理意义可不同哦！一个是没有量纲的，一个是有量纲的，matlab在这方面也是打个马虎眼的，因为量纲这东西是人为添加的，它只想着怎么把数值算出来就行了，管什么量纲问题，所以你可以看到它其中的dwt函数不管分析是有量纲的信号还是无量钢的系数都可以做，有人就用dwt函数不停分解各阶的小波系数来达到wavedec函数的作用，实际上这只是数值上的相同，其意义是不同的。其它的你得慢慢理解了，不理解就跳过吧，你太细心了，可能是先学信号处理的滤波器理论，后学DWT吧？如果倒过来就不会问这么个有趣的问题了。

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