【0】README

0.1）本文旨在讲解 哈儿小波变换（分解和重构）进行数据的降维和升维；

【timestamp: 1703281610】时隔几个月再来review 哈儿小波变换算法的具体思路：

1）分解降维：首先对所有item进行分解降维，求相邻维度的两个元素的和均值和差均值，如 array[0] 和 array[1]为一组,array[2]和array[3]为一组；分别存储在 array[i] array[i+span]， 其中span=该当前分辨率下的 分辨率长度，如当前分辨率为resolution, 则 length=2^resolution；

2）item重构升维：当前分辨率为curResolution，则 

int span = (int) pow(2, curResolution);
for (int i = 0; i < span; i++) {temp[2*i] = rawitem[i] + rawitem[i+span];temp[2*i+1] = rawitem[i] - rawitem[i+span];
}

因为 rawitem[i] 和 rawitem[i+span]是 降维时的和均值和差均值；

3）质心重构升维： 只需要将较低分辨率下的质心扩展一倍，如

if(ClusterData.resolutionLength < ClusterData.dimension) {for (int j = ClusterData.resolutionLength-1; j >= 0 ; j--) {  ClusterData.centroid[i][2*j] = ClusterData.centroid[i][j];ClusterData.centroid[i][2*j+1] = ClusterData.centroid[i][j];}
}

【1】intro to 哈儿小波

【2】将上述哈尔小波分解过程用倒置二叉树表示如下：

【3】看个荔枝

对上图的分析（Analysis）：

A1）以上数据[2, 5, 8, 9, 7, 4, -1, 1]在不同分辨率下经过哈儿小波变换得到的数据如下：

分辨率3：它本身；

分辨率2：3.5， 8.5, 5.5, 0, -1.5, -0.5, 1.5, -1;

分辨率1：6， 2.75， -2.5， 2.75, -1.5, -0.5, 1.5, -1;

分辨率0：4.375， 1.625， -2.5， 2.75, -1.5, -0.5, 1.5, -1;

A2）哈儿小波变换分为哈儿小波分解和哈儿小波重构，且我们可以指定最低级分辨率（并不一定是0）；

【4】将哈儿小波变换应用到Kmeans聚类算法（干货——目的是降低聚类时间复杂度）

1）Kmeans聚类进行前：先对数据进行哈儿小波分解以降维到0分辨率（或你自己指定）（干货——聚类开始前，我们数据的分辨率是0，而维度是1，即2^0=1）；

2）Kmeans聚类过程中：聚类是一个迭代的过程，每轮迭代，我们都对数据进行哈儿小波重构进行升维（以降低聚类时间复杂度）；

如第1轮聚类后，我们将数据升维到分辨率1下；第2轮迭代后，将数据升维到分辨率2下，以此类推......；当达到全分辨率下时，我们不再进行哈儿小波变换，但可以继续聚类，直到满足聚类结束标志的条件为止；

【5】哈儿小波分解和重构源代码实现 

5.1）哈儿小波分解和重构的源代码 

public class HaarTransform{public static int maxResolution;/*** executing haar reconstruction transform towards given array* @param rawitem raw array* @param curResolution current resolution*/public static void haarReconstruct(double[] rawitem, int curResolution)  {double[] temp = new double[rawitem.length];System.arraycopy(rawitem, 0, temp, 0, temp.length);int span = (int) pow(2, curResolution);for (int i = 0; i < span; i++) {temp[2*i] = rawitem[i] + rawitem[i+span];temp[2*i+1] = rawitem[i] - rawitem[i+span];}System.arraycopy(temp, 0, rawitem, 0, temp.length);}/*** @param rawitem is a array* @param leastResolution is the least resolution  allowed be zero.* @param maxResolution is equals to log(full dimension)* @return*/public static double[] haarDecompose(double[] rawitem, int leastResolution)  {double[] temp = new double[rawitem.length];int resolutionLength = rawitem.length;  int maxResolution = HaarTransform.maxResolution;// if rawitem.length=8, maxResolution = 3; // you know least resolution equals to 0.for (int i = maxResolution; i > leastResolution; i--) {System.out.println("第"+i+"级分辨率下");AlgTools.printOneDimArray(rawitem);for (int j = 0; j < resolutionLength / 2; j++) {temp[j] = (rawitem[2*j] + rawitem[2*j+1]) / 2;temp[resolutionLength/2+j] = (rawitem[2*j] - rawitem[2*j+1]) / 2;}resolutionLength /= 2;System.arraycopy(temp, 0, rawitem, 0, temp.length);}return temp;}
}

5.2）哈儿小波分解和重构的测试用例

public class HaarTransformTest {public static void main(String[] args) {double[] data = {2, 5, 8, 9, 7, 4, -1, 1};int resolutionNum = (int) (log(data.length) / log(2));System.out.println("分辨率总级别个数为： " + resolutionNum);HaarTransform.maxResolution = resolutionNum;int leastResolution = 0;HaarTransform.haarDecompose(data, leastResolution);System.out.println("最低级分辨率"+leastResolution+"下");AlgTools.printOneDimArray(data);// 哈儿小波分解over.for (int i = leastResolution; i < resolutionNum; i++) {HaarTransform.haarReconstruct(data, i);System.out.println("第"+ (i+1) + "级分辨率下");AlgTools.printOneDimArray(data);}// 哈儿小波重构over.}
}

5.2）打印结果（共8维）（也可以指定哈尔小波分解的最低级分辨率，如1,2，但最小是0）

分辨率总级别个数为： 3
第3级分辨率下2.000  5.000  8.000  9.000  7.000  4.000 -1.000  1.000
第2级分辨率下3.500  8.500  5.500  0.000 -1.500 -0.500  1.500 -1.000
第1级分辨率下6.000  2.750 -2.500  2.750 -1.500 -0.500  1.500 -1.000
最低级分辨率0下4.375  1.625 -2.500  2.750 -1.500 -0.500  1.500 -1.000
第1级分辨率下6.000  2.750 -2.500  2.750 -1.500 -0.500  1.500 -1.000
第2级分辨率下3.500  8.500  5.500  0.000 -1.500 -0.500  1.500 -1.000
第3级分辨率下2.000  5.000  8.000  9.000  7.000  4.000 -1.000  1.000