算法分析与设计（NPC问题）

一、问题难证明（难解）的原因

1）问题是难解，只能在指数时间内找到问题的解决方案；（问题是复杂）

2）问题的解法长度超过了对应输入的任意一个多项式方法；（问题规模大，语句频度）

二、决策问题（decision problem）

定义：结果只回答“是”或‘否’的问题称为决策性问题；

组成部分：1）问题名称； 2）问题实例； 3）基于问题实例提出是（否）问题；

三、P问题&NP问题&NPC问题（多项式问题，非确定性多项式问题）

P问题定义：可以在多项式时间内解决的问题（可以用一个确定的多项式算法求解）；

NP问题定义：存在一个非确定性多项式算法的问题（可以用一个确定算法在多项式时间内检查或验证出它们的解）；

（非确定性多项式算法：算法的每一步都面临着选择，对选择的内容时不明确的且在多项式时间内完成）

特殊的：P问题是NP问题的子集，说明并不是所有的NP问题都是难解的；

NPC问题定义：在NP问题中难解的问题；

图灵规约（Turing）：对于给定的两个问题A和B，如果对于求解问题A的一个算法可以作为求解问题B的算法的子程序，

则称问题A图灵规约到问题B；

Karp规约：对于给定的两个问题A和B，如果存在一个变换T，满足变换前后存在等价关系，I∈YA<=>T(I)∈YB

则称此变换T为问题A到问题B的Karp规约；

四、NPC问题（A）的证明

1）通过NPC的定义去证明：证明对于任意一个NPC问题存在一个多项式变换T将其变换为带证明问题A；

2）通过一个已知NPC问题（SAT问题）进行多项式变换T到带证明问题A；

步骤：证明A是NP问题；选取一个已知的NPC问题B；构造B到A的变换T；证明变换T是多项式变换且变换前后等价；

几种基本的NPC问题：（如下图所示，从SAT问题开始证明）

即：对于SAT和3SAT问题的区别就是对于Ci是由不同个数变量组成的析取范式（SAT为任意个数，3SAT约束为3个）

按照上述的证明步骤：

1）对于3SAT问题，对于每一个变量进行赋值验证每一个子句Ci为真值即可，显然可以在多项式时间内完成，

故3SAT属于NP问题；

2）选取一个已知的NPC问题，在这里我们选取SAT问题作为进行变换的基础；

3）找出从SAT到3SAT的一个变换并证明此变换为多项式变换；

因为SAT中CI个数不唯一，在这里将其分为上述四种情况进行讨论（对应的每一种情况均满足3SAT），说明SAT到3SAT

存在一个变换，现在在证明此变换为多项式变换且可以在多项式时间内完成。

对于每一个子句Ci，由上述的4情况显示最多增加k-3个变量，则对于SAT的m个子句，最多增加m（k-3）个变量，

由此可以显然特征此变换为多项式变换；

先证明当SAT为真时，3SAT也为真：

（分为三种情况：前两个为真，后两个为真，中间部分的任意一个为真）

在证明当3SAT为真时SAT为真（这里采用反证法，假设SAT为假，3SAT为真推出矛盾即可）