题目地址：https://nanti.jisuanke.com/t/41412

题目：

2≤n≤3000，求满足 $a_1+a_2+...+a_n=a_1*a_2*...*a_n$ 的排列的数目

解题思路：

通过简单的打表（n≤10）,可以确定 $a_i$ ≤n，且必定存在的一个排列为 $%uFF081,1,...,1,2,n%uFF09$ $(1,1,..,1,2,n)$ ，所以乘积最大为2n。

多重集合排列公式： $\frac{n!}{k_1!k_2!..k_t!}$ ，其实 $k_i$ 表示每个数重复的次数，n是数字的总数。

dfs枚举2～3000每个数字在整个序列中出现的次数（2*3000中最多有13个2，所以每个数字出现的次数很小），总出现次数记为num，乘积为mul，和为sum，那么满足题目要求的序列中1出现的次数num1=mul-sum，且只有当num1≥0&&num1+num≤3000时才能确定一个满足条件的序列，该序列的n=num1+num，再利用多重集合排列公式求的排列数。

注意：排列式是除法的形式，会存在取模后分母大于分子的情况，需要用到逆元

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const ll maxn = 3005;
int t, n;
ll f[maxn], INV[maxn], ans[maxn];
ll qpow(ll a, ll b)
{ll ans = 1;a = a % mod;while(b){if(b&1) ans = ans * a % mod;a = a*a % mod;b >>= 1;}return ans;
}
bool dfs(ll x, ll mul, ll sum, ll num, ll inv)//num：非1的位数
{if(x==1){ll num1 = mul - sum;if(num1 >= 0 && num+num1 <= 3000){ans[num+num1] = (ans[num+num1] + ((f[num+num1]*inv)%mod * INV[num1])%mod)%mod;return true;}else return false;}dfs(x-1, mul, sum, num, inv);//无xfor(int i = 1; mul*pow(x,i) <= 2*3000; i++)//6000最多2^13{bool flag = dfs(x-1, mul*pow(x,i), sum+x*i, num+i, INV[i]*inv%mod);//i是x出现的次数if(!flag) break;}return true;
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);f[0] = 1;for(int i = 1; i <= 3000; i++) f[i] = f[i-1] * i % mod;for(int i = 0; i <= 3000; i++) INV[i] = qpow(f[i], mod-2);//逆元,个数可能为0，也要处理INV[0]dfs(3000, 1, 0, 0, 1);scanf("%d", &t);while(t--){scanf("%d", &n);printf("%lld\n", ans[n]);}return 0;
}

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