《高等代数学》（姚慕生），习题1.4：行列式的展开和转置

2024-05-17 20:14:34

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1. 通过计算证明下列行列式按第一行展开的值等于按第一列展开的值：
∣100273522∣，∣10−562−15−116∣\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 3 \\ 5 & 2 & 2 \\\end{matrix} \right|，\left| \begin{matrix} 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 \\ 5 & -11 & 6 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣125072032∣∣∣∣∣∣，∣∣∣∣∣∣16502−11−5−16∣∣∣∣∣∣
2. 将下列行列式分别按第二行及第三列展开求值并比较其结果：
∣235120038∣，∣32−22−1396−7∣\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 8 \\\end{matrix} \right|，\left| \begin{matrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & -7 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣210323508∣∣∣∣∣∣，∣∣∣∣∣∣3292−16−23−7∣∣∣∣∣∣
3. 设∣A∣\left| A \right|∣A∣是nnn阶行列式，若∣A∣\left| A \right|∣A∣的第(i,j)\left( i,j \right)(i,j)元素aij{{a}_{ij}}aij与第(j,i)\left( j,i \right)(j,i)元素aji{{a}_{ji}}aji适合关系式aij=−aji,{{a}_{ij}}=-{{a}_{ji}},aij=−aji,则称∣A∣\left| A \right|∣A∣是一个反对称行列式。求证：当nnn是奇数时，nnn阶反对称行列式的值等于零。
4. 求证：nnn阶行列式∣00⋯0b100⋯b20⋮⋮⋮⋮0bn−1⋯00bn0⋯00∣=(−1)12n(n−1)b1b2⋯bn.\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}\cdots {{b}_{n}}.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0bn00⋮bn−10⋯⋯⋯⋯0b2⋮00b10⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)21n(n−1)b1b2⋯bn.
5. 求下列关于xxx的多项式中一次项的系数：
f(x)=∣2x−531234−10−2−3−17−2−2∣.f\left( x \right)=\left| \begin{matrix} 2 & x & -5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & -3 \\ -1 & 7 & -2 & -2 \\\end{matrix} \right|.f(x)=∣∣∣∣∣∣∣∣21−1−1x207−53−2−234−3−2∣∣∣∣∣∣∣∣.
6. 用Cramer法则求下列线性方程组的解：{x1+2x2+3x4=1,2x1+5x2−x3+4x4=2,3x1+6x2+x3+10x4=3,−x1−2x2−2x4=4.\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{4}}=1, \\ & 2{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}-{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=2, \\ & 3{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+10{{x}_{4}}=3, \\ & -{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}-2{{x}_{4}}=4. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1+2x2+3x4=1,2x1+5x2−x3+4x4=2,3x1+6x2+x3+10x4=3,−x1−2x2−2x4=4.

1. 通过计算证明下列行列式按第一行展开的值等于按第一列展开的值：
∣100273522∣，∣10−562−15−116∣\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 3 \\ 5 & 2 & 2 \\\end{matrix} \right|，\left| \begin{matrix} 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 \\ 5 & -11 & 6 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣125072032∣∣∣∣∣∣，∣∣∣∣∣∣16502−11−5−16∣∣∣∣∣∣

解
{∣100273522∣→=按第1行展开1×∣7322∣−0×∣2352∣+0×∣2752∣=8.∣100273522∣→=按第1列展开1×∣7322∣−2×∣0022∣+5×∣0073∣=8.\left\{ \begin{aligned} & \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 3 \\ 5 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{按第1行展开}1\times \left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right|-0\times \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \\ \end{matrix} \right|+0\times \left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 5 & 2 \\ \end{matrix} \right|=8. \\ & \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 7 & 3 \\ 5 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{按第1列展开}1\times \left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right|-2\times \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right|+5\times \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 7 & 3 \\ \end{matrix} \right|=8. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∣∣∣∣∣∣125072032∣∣∣∣∣∣按第1行展开=1×∣∣∣∣7232∣∣∣∣−0×∣∣∣∣2532∣∣∣∣+0×∣∣∣∣2572∣∣∣∣=8.∣∣∣∣∣∣125072032∣∣∣∣∣∣按第1列展开=1×∣∣∣∣7232∣∣∣∣−2×∣∣∣∣0202∣∣∣∣+5×∣∣∣∣0703∣∣∣∣=8.
{∣10−562−15−116∣→=按第1行展开1×∣2−1−116∣−0×∣6−156∣+(−5)×∣625−11∣=1+380=381.∣10−562−15−116∣→=按第1列展开1×∣2−1−116∣−6×∣0−5−116∣+5×∣0−52−1∣=1+330+50=381.\left\{ \begin{aligned} & \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 \\ 5 & -11 & 6 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{按第1行展开}1\times \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -11 & 6 \\ \end{matrix} \right|-0\times \left| \begin{matrix} 6 & -1 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right|+\left( -5 \right)\times \left| \begin{matrix} 6 & 2 \\ 5 & -11 \\ \end{matrix} \right|=1+380=381. \\ & \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 \\ 5 & -11 & 6 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{按第1列展开}1\times \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -11 & 6 \\ \end{matrix} \right|-6\times \left| \begin{matrix} 0 & -5 \\ -11 & 6 \\ \end{matrix} \right|+5\times \left| \begin{matrix} 0 & -5 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=1+330+50=381. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∣∣∣∣∣∣16502−11−5−16∣∣∣∣∣∣按第1行展开=1×∣∣∣∣2−11−16∣∣∣∣−0×∣∣∣∣65−16∣∣∣∣+(−5)×∣∣∣∣652−11∣∣∣∣=1+380=381.∣∣∣∣∣∣16502−11−5−16∣∣∣∣∣∣按第1列展开=1×∣∣∣∣2−11−16∣∣∣∣−6×∣∣∣∣0−11−56∣∣∣∣+5×∣∣∣∣02−5−1∣∣∣∣=1+330+50=381.

2. 将下列行列式分别按第二行及第三列展开求值并比较其结果：
∣235120038∣，∣32−22−1396−7∣\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 8 \\\end{matrix} \right|，\left| \begin{matrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & -7 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣210323508∣∣∣∣∣∣，∣∣∣∣∣∣3292−16−23−7∣∣∣∣∣∣

解
{∣235120038∣→按r2展开1×(−1)2+1×∣3538∣+2×(−1)2+2×∣2508∣+0×(−1)2+3×∣2303∣=−9+32+0=23.∣235120038∣→按c3展开5×(−1)1+3×∣1203∣+0×(−1)2+3×∣2303∣+8×(−1)3+3×∣2312∣=15+0+8=23.\left\{ \begin{aligned} & \left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 8 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{按{{r}_{2}}展开}1\times {{\left( -1 \right)}^{2+1}}\times \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ 3 & 8 \\ \end{matrix} \right|+2\times {{\left( -1 \right)}^{2+2}}\times \left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 8 \\ \end{matrix} \right|+0\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right|=-9+32+0=23. \\ & \left| \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 8 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{按{{c}_{3}}展开}5\times {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right|+0\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right|+8\times {{\left( -1 \right)}^{3+3}}\times \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=15+0+8=23. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∣∣∣∣∣∣210323508∣∣∣∣∣∣按r2展开1×(−1)2+1×∣∣∣∣3358∣∣∣∣+2×(−1)2+2×∣∣∣∣2058∣∣∣∣+0×(−1)2+3×∣∣∣∣2033∣∣∣∣=−9+32+0=23.∣∣∣∣∣∣210323508∣∣∣∣∣∣按c3展开5×(−1)1+3×∣∣∣∣1023∣∣∣∣+0×(−1)2+3×∣∣∣∣2033∣∣∣∣+8×(−1)3+3×∣∣∣∣2132∣∣∣∣=15+0+8=23.
{∣32−22−1396−7∣→按r2展开2×(−1)2+1×∣2−26−7∣+(−1)×(−1)2+2×∣3−29−7∣+3×(−1)2+3×∣3296∣=4+3+0=7.∣32−22−1396−7∣→按c3展开(−2)×(−1)1+3×∣2−196∣+3×(−1)2+3×∣3296∣+(−7)×(−1)3+3×∣322−1∣=−42+0+49=7.\left\{ \begin{aligned} & \left| \begin{matrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & -7 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{按{{r}_{2}}展开}2\times {{\left( -1 \right)}^{2+1}}\times \left| \begin{matrix} 2 & -2 \\ 6 & -7 \\ \end{matrix} \right|+\left( -1 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{2+2}}\times \left| \begin{matrix} 3 & -2 \\ 9 & -7 \\ \end{matrix} \right|+3\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 9 & 6 \\ \end{matrix} \right|=4+3+0=7. \\ & \left| \begin{matrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & -7 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{按{{c}_{3}}展开}\left( -2 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\times \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 9 & 6 \\ \end{matrix} \right|+3\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 9 & 6 \\ \end{matrix} \right|+\left( -7 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{3+3}}\times \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-42+0+49=7. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∣∣∣∣∣∣3292−16−23−7∣∣∣∣∣∣按r2展开2×(−1)2+1×∣∣∣∣26−2−7∣∣∣∣+(−1)×(−1)2+2×∣∣∣∣39−2−7∣∣∣∣+3×(−1)2+3×∣∣∣∣3926∣∣∣∣=4+3+0=7.∣∣∣∣∣∣3292−16−23−7∣∣∣∣∣∣按c3展开(−2)×(−1)1+3×∣∣∣∣29−16∣∣∣∣+3×(−1)2+3×∣∣∣∣3926∣∣∣∣+(−7)×(−1)3+3×∣∣∣∣322−1∣∣∣∣=−42+0+49=7.

3. 设∣A∣\left| A \right|∣A∣是nnn阶行列式，若∣A∣\left| A \right|∣A∣的第(i,j)\left( i,j \right)(i,j)元素aij{{a}_{ij}}aij与第(j,i)\left( j,i \right)(j,i)元素aji{{a}_{ji}}aji适合关系式aij=−aji,{{a}_{ij}}=-{{a}_{ji}},aij=−aji,则称∣A∣\left| A \right|∣A∣是一个反对称行列式。求证：当nnn是奇数时，nnn阶反对称行列式的值等于零。

证明
充分利用行列式的反对称形式，往行列式的转置方面思考。设nnn阶行列式
∣A∣=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣.\left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|.∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
则其转置为
∣AT∣=∣a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋮⋮⋮a1na2n⋯ann∣→=反对称性质∣−a11−a12⋯−a1n−a21−a22⋯−a2n⋮⋮⋮−an1−an2⋯−ann∣→=提取每行的公因数(−1)(−1)n∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=(−1)n∣A∣.(1)\left| {{A}^{T}} \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{21}} & \cdots & {{a}_{n1}} \\ {{a}_{12}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{n2}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a}_{1n}} & {{a}_{2n}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{反对称性质}\left| \begin{matrix} -{{a}_{11}} & -{{a}_{12}} & \cdots & -{{a}_{1n}} \\ -{{a}_{21}} & -{{a}_{22}} & \cdots & -{{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ -{{a}_{n1}} & -{{a}_{n2}} & \cdots & -{{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right| \\\xrightarrow[=]{提取每行的公因数(-1)}{{\left( -1 \right)}^{n}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{n}}\left| A \right|. \tag{1}∣∣AT∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣反对称性质=∣∣∣∣∣∣∣∣∣−a11−a21⋮−an1−a12−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮−ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣提取每行的公因数(−1)=(−1)n∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)n∣A∣.(1)
另一方面，由行列式具有性质
∣AT∣=∣A∣.(2)\left| {{A}^{T}} \right|=\left| A \right|. \tag{2}∣∣AT∣∣=∣A∣.(2)
由式（1），式（2），即得
∣A∣=(−1)n∣A∣.(3)\left| A \right|={{\left( -1 \right)}^{n}}\left| A \right|. \tag{3}∣A∣=(−1)n∣A∣.(3)
nnn为偶数时，显然式（3）是一个恒等式；而nnn为奇数时，式（3）即为
∣A∣=−∣A∣. ⇒∣A∣=0.\left| A \right|=-\left| A \right|\text{. }\Rightarrow \text{ }\left| A \right|=0.∣A∣=−∣A∣. ⇒ ∣A∣=0.

注
反对称矩阵中对角线元素一定为000。以a11{{a}_{11}}a11为例，由a11=−a11{{a}_{11}}=-{{a}_{11}}a11=−a11即可推出2a11=02{{a}_{11}}=02a11=0，即有a11=0{{a}_{11}}=0a11=0。

4. 求证：nnn阶行列式∣00⋯0b100⋯b20⋮⋮⋮⋮0bn−1⋯00bn0⋯00∣=(−1)12n(n−1)b1b2⋯bn.\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}\cdots {{b}_{n}}.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0bn00⋮bn−10⋯⋯⋯⋯0b2⋮00b10⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)21n(n−1)b1b2⋯bn.

证明

先将行列式中(b1,0,0,⋯,0)T{{\left( {{b}_{1}},0,0,\cdots ,0 \right)}^{T}}(b1,0,0,⋯,0)T一列一步步交换到第111列的位置：
∣A1∣:=∣00⋯00b100⋯0b2000⋯b300⋮⋮⋮⋮⋮0bn−1⋯000bn0⋯000∣→∣00⋯0b1000⋯00b200⋯b300⋮⋮⋮⋮⋮0bn−1⋯000bn0⋯000∣→∣00⋯b10000⋯00b200⋯0b30⋮⋮⋮⋮⋮0bn−1⋯000bn0⋯000∣→⋯→∣b10⋯00000⋯00b200⋯0b3000⋯b400⋮⋮⋮⋮⋮0bn⋯000∣=:∣A2∣.\begin{aligned} & \left| {{A}_{1}} \right|:=\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{3}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{3}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}} \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & {{b}_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ \vdots& \vdots & & \vdots& \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\cdots \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|=:\left| {{A}_{2}} \right|. \\ \end{aligned}∣A1∣:=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣000⋮0bn000⋮bn−10⋯⋯⋯⋯⋯00b3⋮000b20⋮00b100⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣000⋮0bn000⋮bn−10⋯⋯⋯⋯⋯00b3⋮00b100⋮000b20⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣000⋮0bn000⋮bn−10⋯⋯⋯⋯⋯b100⋮0000b3⋮000b20⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⋯∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯000b4⋮000b30⋮00b200⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=:∣A2∣.
共交换列次数为n−1n-1n−1次。
接着将(0,b2,0,⋯,0)T{{\left( 0,{{b}_{2}},0,\cdots ,0 \right)}^{T}}(0,b2,0,⋯,0)T一列一步步交换到第222列的位置：
∣A2∣=∣b10⋯00000⋯00b200⋯0b3000⋯b400⋮⋮⋮⋮⋮0bn⋯000∣→∣b10⋯00000⋯0b2000⋯00b300⋯b400⋮⋮⋮⋮⋮0bn⋯000∣→∣b10⋯00000⋯b20000⋯00b300⋯0b40⋮⋮⋮⋮⋮0bn⋯000∣→⋯→∣b10⋯0000b2⋯00000⋯00b300⋯0b4000⋯b500⋮⋮⋮⋮⋮00⋯000∣=:∣A3∣.\begin{aligned} & \left| {{A}_{2}} \right|=\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{4}} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\cdots \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {{b}_{2}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{5}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|=:\left| {{A}_{3}} \right|. \\ \end{aligned}∣A2∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯000b4⋮000b30⋮00b200⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯000b4⋮00b200⋮000b30⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯0b200⋮0000b4⋮000b30⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⋯∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b10000⋮00b2000⋮0⋯⋯⋯⋯⋯⋯0000b5⋮0000b40⋮000b300⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=:∣A3∣.
共交换列次数为n−2n-2n−2次。
重复以上操作，直到把(0,0,⋯,bn−1,0)T{{\left( 0,0,\cdots ,{{b}_{n-1}},0 \right)}^{T}}(0,0,⋯,bn−1,0)T交换到第n−1n-1n−1列的位置，此时(0,0,⋯,0,bn)T{{\left( 0,0,\cdots ,0,{{b}_{n}} \right)}^{T}}(0,0,⋯,0,bn)T刚好也就在第nnn列的位置。注意到对于将(0,0,⋯0,bj,0,⋯,0)T{{\left( 0,0,\cdots 0,{{b}_{j}},0,\cdots ,0 \right)}^{T}}(0,0,⋯0,bj,0,⋯,0)T交换到第j(=1,2,⋯,n−1)j\left( =1,2,\cdots ,n-1 \right)j(=1,2,⋯,n−1)列这个单独的步骤，共需交换列次数为n−jn-jn−j次。

综上，一方面有
∣A1∣=(−1)n−1∣A2∣=(−1)n−1×((−1)n−2∣A3∣)=⋯=∏j=1n−1(−1)n−j∣An∣=(−1)∑j=1n−1(n−j)∣An∣=(−1)12n(n−1)∣An∣.(1)\left| {{A}_{1}} \right|={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left| {{A}_{2}} \right|={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\times \left( {{\left( -1 \right)}^{n-2}}\left| {{A}_{3}} \right| \right)=\cdots\\=\prod\limits_{j=1}^{n-1}{{{\left( -1 \right)}^{n-j}}}\left| {{A}_{n}} \right|={{\left( -1 \right)}^{\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\left( n-j \right)}}}\left| {{A}_{n}} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}\left| {{A}_{n}} \right|. \tag{1}∣A1∣=(−1)n−1∣A2∣=(−1)n−1×((−1)n−2∣A3∣)=⋯=j=1∏n−1(−1)n−j∣An∣=(−1)j=1∑n−1(n−j)∣An∣=(−1)21n(n−1)∣An∣.(1)
另一方面注意到
∣An∣=∣b1b2⋱bn−1bn∣\left| {{A}_{n}} \right|=\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {{b}_{2}} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {{b}_{n-1}} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right|∣An∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2⋱bn−1bn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
是一个上三角不等式，于是有
∣An∣=∏j=1nbj.(2)\left| {{A}_{n}} \right|=\prod\limits_{j=1}^{n}{{{b}_{j}}}. \tag{2}∣An∣=j=1∏nbj.(2)
由式（1），式（2），于是有
∣00⋯0b100⋯b20⋮⋮⋮⋮0bn−1⋯00bn0⋯00∣=(−1)12n(n−1)∏j=1nbj.\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}\prod\limits_{j=1}^{n}{{{b}_{j}}}.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0bn00⋮bn−10⋯⋯⋯⋯0b2⋮00b10⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)21n(n−1)j=1∏nbj.

5. 求下列关于xxx的多项式中一次项的系数：
f(x)=∣2x−531234−10−2−3−17−2−2∣.f\left( x \right)=\left| \begin{matrix} 2 & x & -5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & -3 \\ -1 & 7 & -2 & -2 \\\end{matrix} \right|.f(x)=∣∣∣∣∣∣∣∣21−1−1x207−53−2−234−3−2∣∣∣∣∣∣∣∣.

解
首先我们通过列之间的线性抵消将原四阶行列式f(x)f\left( x \right)f(x)化为三阶行列式：
∣2x−531234−10−2−3−17−2−2∣→=−2c1→c2,−3c1→c3,−4c1→c4∣2x−4−11−51000−1211−1912∣→=按r2展开1×(−1)2+1×∣x−4−11−5211912∣.(1)\left| \begin{matrix} 2 & x & -5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 & -3 \\ -1 & 7 & -2 & -2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-2c_1 \to c_2, -3c_1 \to c_3, -4c_1 \to c_4}}\left| \begin{matrix} 2 & x-4 & -11 & -5 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 9 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|\\ \xrightarrow[{=}]{{按r_2展开}}1\times {{\left( -1 \right)}^{2+1}}\times \left| \begin{matrix} x-4 & -11 & -5 \\ 2 & 1 & 1 \\ 9 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|. \tag{1}∣∣∣∣∣∣∣∣21−1−1x207−53−2−234−3−2∣∣∣∣∣∣∣∣−2c1→c2,−3c1→c3,−4c1→c4=∣∣∣∣∣∣∣∣21−1−1x−4029−11011−5012∣∣∣∣∣∣∣∣按r2展开=1×(−1)2+1×∣∣∣∣∣∣x−429−1111−512∣∣∣∣∣∣.(1)
继续通过列之间的线性抵消将得到的三阶行列式降为二阶：
∣x−4−11−5211912∣→=−c3→c2,−2c3→c1∣x+6−6−50015−12∣→=按r2展开1⋅(−1)2+3⋅∣x+6−65−1∣.(2)\left| \begin{matrix} x-4 & -11 & -5 \\ 2 & 1 & 1 \\ 9 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-c_3 \to c_2, -2c_3 \to c_1}}\left| \begin{matrix} x+6 & -6 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{按r_2展开}}1\centerdot {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\centerdot \left| \begin{matrix} x+6 & -6 \\ 5 & -1 \\ \end{matrix} \right|. \tag{2}∣∣∣∣∣∣x−429−1111−512∣∣∣∣∣∣−c3→c2,−2c3→c1=∣∣∣∣∣∣x+605−60−1−512∣∣∣∣∣∣按r2展开=1⋅(−1)2+3⋅∣∣∣∣x+65−6−1∣∣∣∣.(2)
可以计算得到二阶行列式的值：
∣x+6−65−1∣=(x+6)⋅(−1)−(−6)⋅5=−x+24.(3)\left| \begin{matrix} x+6 & -6 \\ 5 & -1 \\ \end{matrix} \right|=\left( x+6 \right)\centerdot \left( -1 \right)-\left( -6 \right)\centerdot 5=-x+24. \tag{3}∣∣∣∣x+65−6−1∣∣∣∣=(x+6)⋅(−1)−(−6)⋅5=−x+24.(3)
由式（1），式（2），式（3），最终有
f(x)=−x+24,f\left( x \right)=-x+24,f(x)=−x+24,
一次项的系数为−1-1−1。

6. 用Cramer法则求下列线性方程组的解：{x1+2x2+3x4=1,2x1+5x2−x3+4x4=2,3x1+6x2+x3+10x4=3,−x1−2x2−2x4=4.\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{4}}=1, \\ & 2{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}-{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=2, \\ & 3{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+10{{x}_{4}}=3, \\ & -{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}-2{{x}_{4}}=4. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1+2x2+3x4=1,2x1+5x2−x3+4x4=2,3x1+6x2+x3+10x4=3,−x1−2x2−2x4=4.

解
该线性方程组的系数矩阵AAA和常数列向量bbb分别为
A=(120325−1436110−1−20−2),b=(1234).A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & 4 \\ 3 & 6 & 1 & 10 \\ -1 & -2 & 0 & -2 \\ \end{matrix} \right),\text{ }b=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right).A=⎝⎜⎜⎛123−1256−20−1103410−2⎠⎟⎟⎞, b=⎝⎜⎜⎛1234⎠⎟⎟⎞.
由于
∣A∣→=r2→r3∣120325−14511014−1−20−2∣→=按c3展开(−1)×(−1)2+3×∣12351114−1−2−2∣→=−2c1→c2,−3c1→c3∣10051−1−101∣→=按r1展开1×(−1)1+1×∣1−101∣=1≠0.\begin{aligned} & \left| A \right|\xrightarrow[{=}]{{r_2 \to r_3}}\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & 4 \\ 5 & 11 & 0 & 14 \\ -1 & -2 & 0 & -2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{按c_3展开}}\left( -1 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 11 & 14 \\ -1 & -2 & -2 \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{=}]{{-2c_1 \to c_2, -3c_1 \to c_3}}\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{按r_1展开}}1\times {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\times \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=1\ne 0. \\ \end{aligned}∣A∣r2→r3=∣∣∣∣∣∣∣∣125−12511−20−1003414−2∣∣∣∣∣∣∣∣按c3展开=(−1)×(−1)2+3×∣∣∣∣∣∣15−1211−2314−2∣∣∣∣∣∣−2c1→c2,−3c1→c3=∣∣∣∣∣∣15−10100−11∣∣∣∣∣∣按r1展开=1×(−1)1+1×∣∣∣∣10−11∣∣∣∣=1=0.
因此可使用Cramer法则求解该方程组。
记AAA中第j(=1,2,3,4)j\left( =1,2,3,4 \right)j(=1,2,3,4)列替换为bbb后得到的矩阵为Aj{{A}_{j}}Aj。观察到
(A,b)=(1203125−142361103−1−20−24)→=r2→r3(1203125−1425110145−1−20−24).\left( A,b \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & -1 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 1 & 10 & 3 \\ -1 & -2 & 0 & -2 & 4 \\ \end{matrix} \right)\xrightarrow[{=}]{{r_2 \to r_3}}\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & -1 & 4 & 2 \\ 5 & 11 & 0 & 14 & 5 \\ -1 & -2 & 0 & -2 & 4 \\ \end{matrix} \right).(A,b)=⎝⎜⎜⎛123−1256−20−1103410−21234⎠⎟⎟⎞r2→r3=⎝⎜⎜⎛125−12511−20−1003414−21254⎠⎟⎟⎞.
由此有
∣A1∣=(−1)×(−1)2+3×∣123511144−2−2∣→=−c3→c2,2c3→c1∣7−1333−31400−2∣=(−2)×(−1)3+3×∣7−133−3∣=−24.∣A2∣=(−1)×(−1)2+3×∣1135514−14−2∣→=−c1→c2∣1035014−15−2∣=5×(−1)3+2×∣13514∣=5.∣A4∣=(−1)×(−1)2+3×∣1215115−1−24∣→=−c1→c3∣1205110−1−25∣=5×(−1)3+3×∣12511∣=5.\begin{aligned} & \left| {{A}_{1}} \right|=\left( -1 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 11 & 14 \\ 4 & -2 & -2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-c_3 \to c_2, 2c_3 \to c_1}}\left| \begin{matrix} 7 & -1 & 3 \\ 33 & -3 & 14 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{matrix} \right|=\left( -2 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{3+3}}\times \left| \begin{matrix} 7 & -1 \\ 33 & -3 \\ \end{matrix} \right|=-24. \\ & \left| {{A}_{2}} \right|=\left( -1 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 14 \\ -1 & 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-c_1 \to c_2}}\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 14 \\ -1 & 5 & -2 \\ \end{matrix} \right|=5\times {{\left( -1 \right)}^{3+2}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 14 \\ \end{matrix} \right|=5. \\ & \left| {{A}_{4}} \right|=\left( -1 \right)\times {{\left( -1 \right)}^{2+3}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 5 & 11 & 5 \\ -1 & -2 & 4 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-c_1 \to c_3}}\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 11 & 0 \\ -1 & -2 & 5 \\ \end{matrix} \right|=5\times {{\left( -1 \right)}^{3+3}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 11 \\ \end{matrix} \right|=5. \\ \end{aligned}∣A1∣=(−1)×(−1)2+3×∣∣∣∣∣∣154211−2314−2∣∣∣∣∣∣−c3→c2,2c3→c1=∣∣∣∣∣∣7330−1−30314−2∣∣∣∣∣∣=(−2)×(−1)3+3×∣∣∣∣733−1−3∣∣∣∣=−24.∣A2∣=(−1)×(−1)2+3×∣∣∣∣∣∣15−1154314−2∣∣∣∣∣∣−c1→c2=∣∣∣∣∣∣15−1005314−2∣∣∣∣∣∣=5×(−1)3+2×∣∣∣∣15314∣∣∣∣=5.∣A4∣=(−1)×(−1)2+3×∣∣∣∣∣∣15−1211−2154∣∣∣∣∣∣−c1→c3=∣∣∣∣∣∣15−1211−2005∣∣∣∣∣∣=5×(−1)3+3×∣∣∣∣15211∣∣∣∣=5.
单独计算∣A3∣\left| {{A}_{3}} \right|∣A3∣如下：
∣A3∣=∣12132524511314−1−24−2∣→=−2c1→c2,−c1→c3,−3c1→c4∣1000210−251−2−1−1051∣=1×(−1)1+1×∣10−21−2−1051∣→=−r1→r2∣10−20−21051∣=1×(−1)1+1×∣−2151∣=−7.\begin{aligned} & \left| {{A}_{3}} \right|=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 2 & 4 \\ 5 & 11 & 3 & 14 \\ -1 & -2 & 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-2c_1 \to c_2, -c_1 \to c_3, -3c_1 \to c_4}}\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -2 \\ 5 & 1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right| \\ &=1\times {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\times \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{=}]{{-r_1 \to r_2}}\left| \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|=1\times {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\times \left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|=-7. \\ \end{aligned}∣A3∣=∣∣∣∣∣∣∣∣125−12511−212343414−2∣∣∣∣∣∣∣∣−2c1→c2,−c1→c3,−3c1→c4=∣∣∣∣∣∣∣∣125−1011000−250−2−11∣∣∣∣∣∣∣∣=1×(−1)1+1×∣∣∣∣∣∣1100−25−2−11∣∣∣∣∣∣−r1→r2=∣∣∣∣∣∣1000−25−211∣∣∣∣∣∣=1×(−1)1+1×∣∣∣∣−2511∣∣∣∣=−7.
于是有
x1,2,3,4=∣A1,2,3,4∣∣A∣=−24,5,−7,5.{{x}_{1,2,3,4}}=\frac{\left| {{A}_{1,2,3,4}} \right|}{\left| A \right|}=-24,\text{ }5,\text{ }-7,\text{ }5.x1,2,3,4=∣A∣∣A1,2,3,4∣=−24, 5, −7, 5.

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