解析数论 1: Fourier积分和Fourier变换

解析数论基础：Fourier积分和Fourier变换

讨论定义在(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞)上，只有第一类间断点的实值函数f(x)f(x)f(x)，且积分
∫−∞∞∣f(x)∣dx<+∞\int^{\infty}_{-\infty}|f(x)|dx<+\infty∫−∞∞∣f(x)∣dx<+∞
如果f(x)f(x)f(x)是复值函数，则要求实部和虚部都满足上述条件，分开实部和虚部来讨论，本文所述定理也成立。

设fˉ(x)=12(f(x+0)+f(x−0))\bar{f}(x)=\frac{1}{2}(f(x+0)+f(x-0))fˉ(x)=21(f(x+0)+f(x−0)) 把积分
12π∫−∞∞dy∫−∞∞f(u)cos(y(u−x))du=∫−∞∞dy∫−∞∞f(u)cos(2πy(u−x))du\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}dy\int^{\infty}_{-\infty}f(u)cos(y(u-x))du=\int^{\infty}_{-\infty}dy\int^{\infty}_{-\infty}f(u)cos(2\pi y(u-x))du2π1∫−∞∞dy∫−∞∞f(u)cos(y(u−x))du=∫−∞∞dy∫−∞∞f(u)cos(2πy(u−x))du称为f(x)f(x)f(x)的Fourier积分。复数形式为：
lim⁡A→∞∫−AAe(−xy)dy∫−∞∞f(u)e(yu)du\lim_{A\rightarrow\infty}\int^{A}_{-A}e(-xy)dy\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e(yu)duA→∞lim∫−AAe(−xy)dy∫−∞∞f(u)e(yu)du
注：Fourier积分式不一定收敛，收敛性可由Dirichlet-Jordan判别法给出。

定理 1 若存在正数h>0h>0h>0，s.t.s.t.s.t. f(x)f(x)f(x)在区间[x0,−h,x+0+h][x_0,-h,x_+0+h][x0,−h,x+0+h]上是有界变差，则
fˉ(x0)=∫−∞∞dy∫−∞∞f(u)cos(2πy(u−x0))du\bar{f}(x_0)=\int_{-\infty}^{\infty}dy\int_{-\infty}^{\infty}f(u)cos(2\pi y(u-x_0))dufˉ(x0)=∫−∞∞dy∫−∞∞f(u)cos(2πy(u−x0))du或
fˉ(x0)=lim⁡A→∞∫−AAe(−x0y)dy∫−∞∞f(u)e(yu)du\bar{f}(x_0)=\lim_{A\rightarrow\infty}\int^{A}_{-A}e(-x_0y)dy\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e(yu)dufˉ(x0)=A→∞lim∫−AAe(−x0y)dy∫−∞∞f(u)e(yu)du如果f(x)f(x)f(x)在任一有限区间上是有界变差，则上式在−∞<x0<∞-\infty<x_0<\infty−∞<x0<∞上成立。
把函数f^(y)=∫−∞∞f(u)e(yu)du\hat{f}(y)=\int^{\infty}_{-\infty}f(u)e(yu)duf^(y)=∫−∞∞f(u)e(yu)du称为f(x)f(x)f(x)的Fourier变换。

定理 2 f^(y)\hat{f}(y)f^(y)是(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞)上的有界连续函数，且
lim⁡∣y∣→∞f^(y)=0.\lim_{|y|\rightarrow\infty} \hat{f}(y)=0.∣y∣→∞limf^(y)=0.即Riemann-Lebesgue定理。

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