最大流(MaxFlow)问题

给定指定的一个有向图,其中有两个特殊的点源S(Sources)和汇T(Sinks),每条边有指定的容量(Capacity),求满足条件的从S到T的最大流(MaxFlow).

想象一条多条不同水流量的水管组成的网络, s为供水广, t为水用户, 最大流问题就是找到能够在s到t流通的最大水流量

一个流是最大流当且仅当其残存网络不包含任何增广路径(里面的名称在后面有详细解释)

流(Flow)的基本性质

设$C_{uv}$代表边u到v最大允许流量(Capacity), $f_{uv}$代表u到v的当前流量, 那么有一下两个性质:

$(u, v)$为有向图边, $0<=f_{uv}<=C_{uv}$, 即对于所有的边, 当前流量不允许超过其Capacity

除了$s, t$之外, 对所有节点有 $\sum\limits_{(v, u)}f_{wu} = \sum\limits_{(u, v)}f_{uv}$, 即对于任何一点, 流入该点的流量等于留出该点的流量, 流量守恒原则(类似与能量守恒的概念).

非负数值$f(u, v)$为从节点u到节点v的流.一个流$|f|$的定义: $$|f| = \sum\limits_{v \in V}f(s,v) - \sum\limits_{v \in V}f(v, s)$$

最大流问题即要找到一个最大的流f

Ford-Fulkerson方法

之所以称之为方法, 而不是算法, 因为FF(Ford-Fulkerson简称)包含不同运行时间的几种实现, 是一种迭代的方法.

该方法主要依赖于残存网络, 增广路径和割

//伪代码

初始化:所有流f = 0

while 在残存网络中存在增广路径p

增加流f的值

return f

残存网络

给定网络G和流量f, 残存网络$G_f$由那些仍有空间对流量进行调整的边构成.

残留网络 = 容量网络capacity - 流量网络flow

残存网络

增广路径

增广路径p是残存网络中一条从源节点s到汇点t的简单路径,在一条增广路径p上能够为每条边增加的流量的最大值为路径p的残存容量$c_f(p) = min \{c_f(u,v):(u,v) \in p \}$

在一条增广路径p上, 要增加整条增广路径的水流量, 则必须看最小能承受水流量的管道, 不然水管会爆掉, 这最小承受水流量就是残存容量

割

在有向图网络G中, 割(S, T)将V划分为S和T = V - S, 使得s属于S集合, t属于T集合. 割(S, T)的容量是指从集合S到集合T所有边的容量之和.

最大流

最大流最小割理论

设$f$为流网络G = (V, E)中的一个流, 该流网络的源节点为s, 汇点为t, 则下面的条件是等价的:

f是G的一个最大流

残存网络$G_f$不包含任何增广路径

$|f| = c(S, T)$, 其中(S, T)是流网络G的某个割

Ford-Fulkerson算法Java实现

伪代码

for each edge(u, v)属于G.E(图G的边)

(u, v).f = 0 //所有边的流为0

//循环终止条件为残存我昂罗中不存在增广路径

while s到t的残存网络中存在增广路径p:

c(p) = 最小残存容量

for 增广路径的每条边

if 这条边属于E集合

(u, v).f = (u, v).f + c(p) //意思是在原有的流增加最小残存容量.

else

(u, v).f = (u, v).f - c(p)

//边的定义

public class FlowEdge {

private final int v, w; //边的起点和终点

private final double capacity; //流量

private double flow; //流

public FlowEdge(int v, int w, double capacity) {

this.v = v;

this.w = w;

this.capacity = capacity;

}

public int from() {

return v;

}

public int to() {

return w;

}

public double capacity() {

return capacity;

}

public double flow() {

return flow;

}

public int other(int vertex) {

if (vertex == v) {

return w;

} else if (vertex == w) {

return v;

} else {

throw new RuntimeException("Inconsistent edge");

}

}

//v中残留流量

public double residualCapacityTo(int vertex) {

if (vertex == v) { //反向边

return flow;

} else if (vertex == w) { //正向边

return capacity - flow;

} else {

throw new IllegalArgumentException();

}

}

//向v中增加delta

public void addResidualFlowTo(int vertex, double delta) {

if (vertex == v) {

flow -= delta;

} else if (vertex == w) {

flow += delta;

} else {

throw new IllegalArgumentException();

}

}

}

//流图的定义

public class FlowNetwork {

private final int V; //顶点个数

private Bag[] adj;

public FlowNetwork(int V) {

this.V = V;

adj = (Bag[]) new Bag[V];

for (int v = 0; v < V; v++) {

adj[v] = new Bag<>();

}

}

//想流图中增加边

public void addEdge(FlowEdge e) {

int v = e.from();

int w = e.to();

adj[v].add(e); //正向边

adj[w].add(e); //反向边

}

public int V() {

return V;

}

public Iterable adj(int v) { //返回邻接边

return adj[v];

}

}

//FordFulkerson方法的实现

public class FordFulkerson {

private boolean[] marked; //如果残留网络中有s->v路径, 则为true

private FlowEdge[] edgeTo; //s->v路径的最后的边

private double value; //流

public FordFulkerson(FlowNetwork G, int s, int t) {

value = 0.0;

//当找不到增广路径时终止

while (hasAugmentingPaht(G, s, t)) { //判断是否还有增广路径

double bottle = Double.POSITIVE_INFINITY;

for (int v = t; v != s; v = edgeTo[v].other(v)) { //计算最大流量

bottle = Math.min(bottle, edgeTo[v].residualCapacityTo(v));

}

for (int v = t; v != s; v = edgeTo[v].other(v)) {

edgeTo[v].addResidualFlowTo(v, bottle);

}

value += bottle;

}

}

private boolean hasAugmentingPaht(FlowNetwork G, int s, int t) {

edgeTo = new FlowEdge[G.V()];

marked = new boolean[G.V()];

Queue q = new Queue<>();

q.enqueue(s);

marked[s] = true;

while (!q.isEmpty()) {

int v = q.dequeue();

for (FlowEdge e : G.adj(v)) {

int w = e.other(v);

if (e.residualCapacityTo(w) > 0 && !marked[w]) {

edgeTo[w] = e;

marked[w] = true;

q.enqueue(w);

}

}

}

return marked[t];

}

public double value() {

return value;

}

public boolean intCut(int v) { //在残留网络中v->s是否可达

return marked[v];

}

}

原文：http://www.cnblogs.com/maiyacheng/p/4495143.html