方法

作圆的垂直中心线AB,CDAB,\,CDAB,CD;
取OBOBOB的中点HHH;
以HHH为圆心, HCHCHC为半径画圆弧交ABABAB与GGG点;
CGCGCG即为圆内接正五边形的边长.

图形

代码

\documentclass[tikz,border=3pt]{standalone}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections,through}\begin{document}\begin{tikzpicture}[]% AB, CD为圆的垂直中心线\coordinate [label=below left:$A$] (A) at (0,0);\coordinate [label=below right:$B$] (B) at (4,0);\coordinate [label=above left:$C$] (C) at (2,2);\coordinate [label=below right:$D$] (D) at (2,-2);\coordinate [label=below right:$O$] (O) at (2,0);\draw [name path=o] (O) circle (2);\draw [densely dashed,-latex,name path=AB] ($(A)!-.1!(B)$) -- ($(A)!1.1!(B)$);\draw [densely dashed,latex-,name path=CD] ($(C)!-.1!(D)$) -- ($(C)!1.1!(D)$);\coordinate [label=below:$H$] (H) at ($(O)!.5!(B)$);% 标记弧段\path [name path=o1] let \p1=($ (H) - (C) $), \n2={veclen(\x1, \y1)}in (H) circle (\n2);% 找到交点G\path [name intersections={of=o1 and AB}] coordinate [label=below right:$G$] (G) at (intersection-1);\draw (G) -- (C);\draw [-latex] (H) -- ($(H)!1.18!($(C)!.5!(G)$)$);% 绘制弧段\draw [red]let \p1=($ (H) - (C) $), \n2={veclen(\x1, \y1)}in (G) arc (180:110:\n2)(G) arc (180:185:\n2);% 找到其他点\path [name path=o2]let\p2=($ (G) - (C) $),\n2={veclen(\x2,\y2)}in (C) circle (\n2);\path [name intersections={of=o2 and o}]coordinate [label=above left:$E$] (E) at (intersection-1);\path [name path=o3]let\p2=($ (G) - (C) $),\n2={veclen(\x2,\y2)}in (E) circle (\n2);\path [name intersections={of=o3 and o}]coordinate [] (F) at (intersection-2);\path [name path=o4]let\p2=($ (G) - (C) $),\n2={veclen(\x2,\y2)}in (F) circle (\n2);\path [name intersections={of=o4 and o}]coordinate [] (J) at (intersection-2);\path [name path=o5]let\p2=($ (G) - (C) $),\n2={veclen(\x2,\y2)}in (J) circle (\n2);\path [name intersections={of=o5 and o}]coordinate [] (K) at (intersection-1);% 绘制正五边形\draw [thick] (C) -- (E) -- (F) -- (J) -- (K) -- cycle;\end{tikzpicture}
\end{document}

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