最小二乘法移动最小二乘法

最小二乘法

根据两个变量的实验数据找出它们之间的近似函数表达式f(x)，即经验公式
例如：y=ax+b，已知一组x的数据和相对应的一组y的数据
公式1，根据令偏差的平方和M的最小来求解a、b的值即为最小二乘法。
求解过程：令公式2、公式3，即可求出a、b的值，
然后求出均方误差公式4，其大小一定程度上反映用经验公式来近似表示原来的函数关系的近似程度的好坏。

若f(x)为线性函数，则相应问题为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解方程组得到。
非线性最小二乘问题求解比较困难，一般要借用线性化方法（例如将化学反应的速度用指数函数来表示）或最优方法（搜索算法和迭代算法）才行。

移动最小二乘法

在离散的点云中，求曲线曲面拟合，不能简单地连接这些点，如果知道曲线曲面的形式，如为二次曲线等，可以简单地使用最小二乘法估计参数；但如果曲线曲面形式未知，可以使用移动最小二乘法或者主曲线方法。

Lancaster 和Salkauskas 最先在曲面生成中使用了MLS，后来Belytschko 将其应用于无网格方法（有限元）中。

移动最小二乘法与传统的最小二乘法相比，有两个比较大的改进【1】：

（1）拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数，而是坐标x 的函数。

（2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域，影响区域外的节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数w(x)，如果权函数在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。

这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲线曲面拟合过程中存在的困难。可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权函数以改变拟合曲线(曲面)的光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。

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