【矩阵】

1.定义

$n*m$ 个数 $a_{ij }$ 排成的 n 行 m 列的数称为 n 行 m 列矩阵记作： $A=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} &... &a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} &... &a_{2m} \\... & ... & ... & ...\\ a_{n1} &a_{n2} &... & a_{nm} \end{bmatrix}$

其中， $n*m$ 个数称为矩阵 A 的元素，数 $a_{ij }$ 位于矩阵的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的 (i,j) 元

2.常见矩阵

实矩阵：元素是实数的矩阵
复矩阵：元素是复数的矩阵
n 阶方阵：行数列数相等且为 n 的矩阵，其中 i=j 的元素 $a_{ij }$ 组成的斜线称为主对角线
对角矩阵：除主对角线外的元素皆为 0
上三角矩阵：主对角线左下方元素全为 0
下三角矩阵：主对角线右上方元素全为 0
对称矩阵：转置矩阵与自身相等的方阵，即 $A=A^T$
反对称矩阵：转置矩阵与自身取负后相等的方阵，即 $A=-A^T$
单位矩阵：主对角线元素全为 1，其余元素全为 0，记为 E
正交矩阵：满足 $AA^T=E$ 的矩阵 A，其 $|A|=\pm 1$
逆矩阵：在 n 阶方阵中，可逆矩阵（所有行向量线性无关） A 存在唯一逆元 $A^{-1}$ ，使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$

3.N 阶方阵性质

基本变化规律：

垂直对称： $f'(i,j)=f(i,n+1-j)$
水平对称： $f'(i,j)=f(n+1-i,j)$
主对角线对称： $f'(i,j)=f(j,i)$
辅对角线对称： $f'(i,j)=f(n+1-i,n+1-i)$

对称旋转规律：

中心对称：水平变换与垂直变换合并，即 $f'(i,j)=f(n+1-i,n+1-j )$
顺时针旋转 90 度：水平对称与对角线对称合并，即 $f'(i,j)=f(n+1-j,i)$
逆时针旋转 90 度：垂直对称与对角线对称合并，即 $f'(i,j)=f(j,n+1-i)$

【矩阵的基本运算】

1.加减法

对于两个同型矩阵（两个矩阵的行列数相同），加减法就是将对应的 (i,j) 元做加减运算，其满足交换律和结合律：

A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

struct Matrix{int s[N][N];
};
Matrix add(Matrix A,Matrix B,int n){ //矩阵加法，n代表A、B两个矩阵是n阶方阵Matrix temp;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp.s[i][j]=A.s[i][j]+B.s[i][j];return temp;
}
Matrix sub(Matrix A,Matrix B,int n){ //矩阵减法，n代表A、B两个矩阵是n阶方阵Matrix temp;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp.s[i][j]=A.s[i][j]-B.s[i][j];return temp;
}

2.数乘

一个数乘以一个矩阵，只要将这个数乘到矩阵的每一个 (i,j) 元上，其满足结合律与分配律：

(λμ)A=λ(μA)
(λ+μ)A=λA+μA
λ(A+B)=λA+λB

3.转置

将 A 的行换为同序数的列所得到的新矩阵，其满足以下运算律：

$(A^T)^T=A$
$(\lambda A)^T=\lambda A^T$
$(AB)^T=B^TA^T$

例如：

$\begin{bmatrix}2 &3 &4 \\ 0&-2 &8 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 2 &0 \\3 &-2 \\4 &8 \end{bmatrix}$

4.共轭

对于复矩阵，共轭矩阵定义为： $A_{ij}=\overline{A}_{i,j}$

例如：

$A=\begin{bmatrix}2+i &4 \\ 2-2i&-2 \end{bmatrix},\:\:\bar{A}=\begin{bmatrix} 2-i &4 \\2+2i &-2 \end{bmatrix}$

5.共轭转置

对于复矩阵，共轭转置矩阵定义为： $A^*_{ij}=\bar{A}_{ji}$ ，即： $A^*=(\overline{A})^T=\overline{A^T}$

例如：

$A=\begin{bmatrix}2+i &4 &i\\ 2-2i&-2 &9\end{bmatrix},\:\:A^*=\begin{bmatrix} 2-i &2+2i \\4 &-2\\-i&9 \end{bmatrix}$

【矩阵的乘法】

只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个 B 矩阵的行数相等时才能定义。

A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，他们的乘积 C=AB 是一个 m×p 矩阵，其第 i 行第 j 列的元素值为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积

即： $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}=\sum_{r=1}^na_{ir}b_{r,j}$

矩阵的乘法满足结合律、分配律：

(AB)C=A(BC)
(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CB

struct Matrix{int s[N][N];
};
Matrix mul(Matrix A,Matrix B,int n){//矩阵乘法，n代表A、B两个矩阵是n阶方阵Matrix temp;//临时矩阵，存放A*B结果for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){temp.s[i][j]=0;for(int k=1;k<=n;k++)temp.s[i][j]=temp.s[i][j]+A.s[i][k]*B.s[k][j];}}return temp;
}

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