数学知识——约数（因数）

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。

约数的判定：试除法

众所周知，除了可能有一对同样的数相乘等于x以外，其余的一对约数一个小于sqrt(x)、一个大于sqrt(x)

vector<int> get_divisors(int x)
{vector<int> res;for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )    //基本数学常识 只用除到sqrt(x)if (x % i == 0){res.push_back(i);if (i != x / i) res.push_back(x / i);   //排除一种情况即i^2=n时}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

约数的应用1：求约数个数/求约数之和

定理：对于一个数N，可以被分解质因数为（其中p_i为质因数，ai为指数）N=(p₁^a1) * (p₂^a2) * (p₃^a3) ……

那么N的约数个数为(a1+1) * (a2+1) * (a3+1)……

那么N的约数之和为(p₁⁰+p₁¹+……+p₁^a1)*(p₂⁰+p₂¹+……+p₂^a2) …… *(p_k⁰+p_k¹+……+p_k^ak)
原因：

约数个数：只要是N的约数，分解出来的质因数就一定是与N的质因数的数字相同或者少几个、而且每个质因数的指数范围是0~ai。因为可以取到0也可以取到ai，所以每个质因数有(ai+1)种选法。
约数之和：把式子按乘法分配律展开可以发现是()+()+……+()约数个数个括号相加

所以约数个数即为各种选法相乘

AW870部分代码节选
需要使用哈希，因为单单只用普通数组存质数的话有很大的空间浪费，而且在数据足够大的时候可能溢出

 unordered_map<int, int> primes;  //需要使用哈希，因为单单只用普通数组存质数的话有很大的空间浪费，而且在数据足够大的时候可能溢出while (n -- ){int x;cin >> x;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )while (x % i == 0)   //分解质因数{x /= i;primes[i] ++ ;}if (x > 1) primes[x] ++ ;}LL res = 1;
求约数个数：for(pair<int, int> p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;求约数之和：for (pair<int, int> p : primes){LL a = p.first, b = p.second;  //底数、指数LL t = 1;while (b -- ) t = (t * a + 1) % mod; //初始：t=1//执行一次:t=a+1//执行两次:t=a^2+a+1//三次:t=a^3+a^2+a+1  res = res * t % mod;}cout << res << endl;

约数的应用2：求最大公约数

求最大公约数主要用辗转相除法。而要用到辗转相除法要用到这个定理：

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b ); （其中gcd()返回最大公约数）

int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b,a%b) : a;
} //当b被约成0的时候，此时对应的a即为最小公约数

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