【控制】《多智能体系统一致性协同演化控制理论与技术》纪良浩老师-第8章-二阶连续时间多智能体系统加权一致性

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第8章-二阶连续时间多智能体系统加权一致性

8.1 引言
8.2 预备知识
- 定义8.1 加权一致
8.3 问题描述与分析
- 定理8.1
8.4 例子与数值仿真
- 实验8.1（1）
- 实验8.1（2）
- 实验8.2

8.1 引言

需要控制到某一特定的值

可以通过多智能体系统加权一致来实现

8.2 预备知识

二阶连续系统如下：
x˙i(t)=vi(t)v˙(t)=ui(t),i=1,2,⋯,N(8.1)\dot{x}_i(t) = v_i(t)\\ \dot{v}(t) = u_i(t),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{8.1}x˙i(t)=vi(t)v˙(t)=ui(t),i=1,2,⋯,N(8.1)

定义8.1 加权一致

考虑包含 NNN 个智能体的二阶连续时间多智能体系统（8.1），假设系统的收敛值为 ϑ\varthetaϑ，当且仅当智能体的状态满足下列条件时，称二阶连续时间多智能体系统达到加权一致：

lim⁡t→∞∣∣xi(t)−xj(t)∣∣=0\lim_{t\rightarrow \infty} ||x_i(t)-x_j(t)||=0limt→∞∣∣xi(t)−xj(t)∣∣=0；
lim⁡t→∞∣∣vi(t)−vj(t)∣∣=0\lim_{t\rightarrow \infty} ||v_i(t)-v_j(t)||=0limt→∞∣∣vi(t)−vj(t)∣∣=0；
引入决策函数 ϑ=∑i=1Nbivi(0)\vartheta = \sum_{i=1}^{N} b_i v_i(0)ϑ=∑i=1Nbivi(0)；
lim⁡t→∞vi(t)=ϑ\lim_{t\rightarrow \infty} v_i(t) = \varthetalimt→∞vi(t)=ϑ。

其中，xi(t)、vi(t)、bix_i(t)、v_i(t)、b_ixi(t)、vi(t)、bi 分别代表多智能体系统中节点 viv_ivi 的位移状态、速度状态和节点权重。

8.3 问题描述与分析

控制协议如下：
ui(t)=1bi[α∑vj∈Nieij(xj(t)−xi(t))+β∑vj∈Nieij(vj(t)−vi(t))],i=1,2,⋯,N(8.2)\begin{aligned} u_i(t) = &\red{\frac{1}{b_i}}[\alpha\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (x_j(t) - x_i(t)) + \\ &\beta\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (v_j(t) - v_i(t))],\quad i=1,2,\cdots,N \tag{8.2} \end{aligned}ui(t)=bi1[αvj∈Ni∑eij(xj(t)−xi(t))+βvj∈Ni∑eij(vj(t)−vi(t))],i=1,2,⋯,N(8.2)

其中，bib_ibi 为多智能体系统中节点 viv_ivi 的节点权重，并且 bi>0b_i>0bi>0，∑i=1N=1\sum_{i=1}^N = 1∑i=1N=1。

定理8.1

对于具有有向平衡图拓扑结构的系统（8.1），在控制协议（8.2）作用下，系统可实现加权一致，且系统的最终收敛状态等于决策值 ϑ\varthetaϑ，其中，ϑ=Wave(v(0))=∑i=1Nbivi(0),∑i=1Nbi=1,bi>0\vartheta = \text{Wave}(v(0)) = \sum_{i=1}^{N}b_iv_i(0), \quad \sum_{i=1}^Nb_i=1,\quad b_i>0ϑ=Wave(v(0))=∑i=1Nbivi(0),∑i=1Nbi=1,bi>0。

8.4 例子与数值仿真

搭建模型

实验8.1（1）

结果

更改节点权重为出度

更改 d1=0.9d_1 = 0.9d1=0.9 ，其他保持不变之后，才出现收敛。

通过观察曲线的变换情况，发现折现情况比较严重，也就是曲线不够平滑。因此猜测自动采样时间间隔自动设定的过长。修改采样时间间隔为固定的 0.1s 后，结果如下：

将 d1 的值修改为原来的 0.25

再次修改采样时间为 0.01s

设定采样时间 ΔT=0.01s\Delta T=0.01sΔT=0.01s，d1=0.9sd_1=0.9sd1=0.9s

设定 d1=0.7d_1 = 0.7d1=0.7

设定 d1=0.5d_1 = 0.5d1=0.5

通过以上几组实验，可以得知，只要位置的一阶积分，也就是 dxidx_idxi 的状态能收敛，那么最终就能收敛，因此以下只截图记录保存 dxidx_idxi ，也就是速度的状态。

设定 d1=0.26sd_1 = 0.26sd1=0.26s

接下来，通过调整 d1d_1d1 的值，来逼近最佳的状态值。

修改 β=0.4\beta =0.4β=0.4 使耦合强度 α+β=1\alpha + \beta = 1α+β=1，设定三个不同的 d1d_1d1 值，分别为 {0.35,0.25,0.1}\{0.35, 0.25, 0.1 \}{0.35,0.25,0.1}。结果如下图所示：
注意，当 d1=0.25d_1=0.25d1=0.25 时，也就是等于书上设定的值，那么最后的决策值 ϑ\varthetaϑ 才与书上所给出的 ϑ=10\vartheta=10ϑ=10 相一致。

实验8.1（2）

按照书上 β=0.3\beta=0.3β=0.3 进行正常实验，结果如下：

更改 β=0.4\beta=0.4β=0.4 进行正常实验，结果如下：

实验8.2

按照书上 β=0.3\beta=0.3β=0.3 进行正常实验，结果如下：

更改 β=0.4\beta=0.4β=0.4 进行正常实验，结果如下：