关于丢番图方程x^2-dy^2=-1

我们知道丢番图方程,其中d是非完全平方正整数，那么此方程就是Pell方程，到目前为止对于它的最优求解方

法就是经典的连分数问题。可以看这里：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8529686

那么对于上述的Pell方程来说，它一定是有解的，而现在我们研究另一个丢番图方程：

，其中同样要求d是非完全平方正整数，对于这个方程，它就不一定有解了。

那么我们来研究如下一个结论：

设，当并且为素数，那么一定有正整数解。

下面我们就来简略证明一下这个结论

证明：我们知道对于方程一定有正整数解，当然本文讨论中的所有都是非完全平方正整数。

假设是方程的最小正整数解，显然一奇一偶，假设，，

那么就得到矛盾，所以只能是，

那么这样可以知道都是整数，并且都相差1，所以必有一奇一偶，所以

进一步有：，那么得到：

(还有一种情况不符合舍去)。那么就是方程的最小正整数解。我们可以发现这样的做法就是根据

方程的最小正整数解来求方程的最小正整数解，最后开个方就行了。

其实这种方法看起来很麻烦，我们作如下简化：

因为求方程的解是用连分数，那么我们也可以直接对方程用连分数求解。这里的还是满足

那么我们有如下结论：

如果，并且，那么方程的解可以这样求：

先把写成连分数的形式，那么我们只需要保存它的第一个循环节的部分，然后把它回带成的形式，那么这里的p和q就

是方程的最小正整数解。

其实直接套这里的模版即可：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/9531793

那么，接下我们来看一个同余方程：，其中要求为奇素数，且，求x的最小正整数解。

结论：先求丢番图方程：的最小正整数解的值。然后得到，那么此时方程小于p的正整数解就分

别是和，这两个数中的较小的那个就是上述方程的最小正整数解。

为什么是这样呢？我只作一点简单的描述，这个首先得从二次剩余说起。

二次剩余当中最重要的一些定理如下：

设m是正整数，若同余式，且，有解，那么a叫做模m的二次剩余，否则a叫做模m的二次非剩余。

欧拉判别条件给出了模为奇素数p有解判断条件：

(1)a是模奇素数p的二次剩余的充要条件是：

(2)a是模奇素数p的二次非剩余的充要条件是：

并且有：当a是模奇素数p的平方剩余时，同余式恰有两个小于p的正整数解。并且这两个解之和为p。

所以对于同余方程来说，注意，很明显-1一定是p的二次剩余，所以它有两个解。

然后上面解法的正确性我给出了打表证明：http://paste.ubuntu.com/5998778/

可以从结果中看出，第一个数x用连分数和暴力求解都是一样的，解在范围内恰好有两个，而第二个数没有用，因

为这两个解都是通过x得来的，上面的讲解都说了。

上面介绍的是连分数求方程的最小正整数解，其中且p是素数。

细心的读者会发现，当p很大时还是行不通，因为一是循环节太大，而是可能在求循环节时有数字超过整数范围的。

那么下面我将介绍我认为是解决这个问题的最好方法。把下面的n换为-1就是上面的方程了。

http://algo.ftiasch.com/tag/number-theory/

注意这里是在二次域上做计算的，w不是实数。

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