线性丢番图方程Linear Diophantine equation，名字听得非常高大上的。但是实际上很简单的，线性丢番图就是下面这种形式的方程：
ax+by=cax+by=c ax+by=c
公式中a，b，c都是已知数，x和y是未知数，然后求x和y的整数解。这种有两个未知数，却只有一个方程的情况，解不止一个。这种解不止一个的情况，一般是用字母t或k作为可变的整数来表示通解的形式。首先我们不考虑a和b为零的场景，存在0的场景下，这个方程就没什么意义了。
举个例子：
9x+100y=19x+100y=1 9x+100y=1
其中一个解为
x=−11y=19×−11+100×1=1x=-11\\ y=1\\ 9\times-11+100\times 1=1 x=−11y=19×−11+100×1=1
线性丢番图方程和前面我写的扩展欧几里得法的方程形式很类似。扩展欧几里得法方程是以下形式：
ax+by=gax+by=g ax+by=g
扩展欧几里得法方程可以说是线性丢番图方程的特殊形式，因为g是a和b的最大公约数。而线性丢番图方程的c是一个更一般的值（后面会讲实际上是g的整数倍）。

一与同余的联系（觉得难可以略过）

首先这个方程组可以转变为同余方程组：
ax≡c(modb)bx≡c(moda)ax\equiv c(mod \ b)\\ bx\equiv c(mod \ a)\\ ax≡c(mod b)bx≡c(mod a)
这个步骤我不能跳过，所以推导一下：
∵ax=c−by∴c=ax−by(cmodb)=(ax−by)(modb)=(axmodb)∴c≡ax(modb)\because ax = c-by\\ \therefore c = ax - by\\ (c \ mod \ b) = (ax - by) (mod \ b)= (ax \ mod \ b)\\ \therefore c \equiv ax (mod \ b) ∵ax=c−by∴c=ax−by(c mod b)=(ax−by)(mod b)=(ax mod b)∴c≡ax(mod b)
当a、b互质的时候，有下列公式：
x≡ca−1(modb)x \equiv ca^{-1}(mod \ b) x≡ca−1(mod b)
a−1a^{-1}a−1是aaa模b的模乘逆元，也就是a⋅a−1≡1(modb)a\cdot a^{-1}\equiv 1(mod\ b)a⋅a−1≡1(mod b)。上式的证明很简单，两边同时乘以a，有：
ax≡aca−1(modb)≡aa−1c(modb)≡1⋅c(modb)ax \equiv aca^{-1}(mod \ b)\equiv aa^{-1}c(mod \ b)\equiv 1\cdot c(mod \ b) ax≡aca−1(mod b)≡aa−1c(mod b)≡1⋅c(mod b)
当a、b不互质的时候，只有c能被a与b的最大公约数整除时才有解，有：
g=gcd(a,b)x≡cg(ag)−1(modbg)y=c−axbg=gcd(a,b)\\ x\equiv\frac c g (\frac a g)^{-1}(mod \ \frac b g) \\ y=\frac{c-ax}{b} g=gcd(a,b)x≡gc(ga)−1(mod gb)y=bc−ax
所以说线性丢番图方程可以转换为线性同余方程组，用中国剩余定理去解，但是我们不需要这么做。

二计算方法

线性丢番图方程ax+by=cax+by=cax+by=c，有c能被a与b的最大公约数整除时才有解。这个的证明超级简单啊。设g是a和b的最大公约数，那么ax是g的倍数，by也是g的倍数，那么c一定要是g的倍数，否则没有整数解。而且有多个解，但是通解是特解的同余类。这个有点像微分方程，通解等于特解加上一个可变的部分。
举个例子，6x+9y=216x+9y=216x+9y=21，其中一个特解是x=2,y=1x=2,y=1x=2,y=1，通解是x=3t+2,y=−2t+1x=3t+2,y=-2t+1x=3t+2,y=−2t+1，可以看出通解中包含了特解。
在前面，我们学过扩展欧几里得法可以计算如下的方程：
ax+by=gax+by=g ax+by=g
扩展欧几里得法（如果没学过可以看我的文章《3 模乘逆元-扩展欧几里得法》）要求g必须是a和b的最大公约数，否则不能计算。而对于方程ax+by=cax+by=cax+by=c，c不一定是a或b的最大公约数g，但一定是g的整数倍。所以我们可以这样计算：
第一步，先用扩展欧几里得法解出一组数xgx_gxg和ygy_gyg，也就是解下面的方程：
axg+byg=gax_g+by_g=g axg+byg=g
第二步，因为我们知道c是g的整数倍，上面的方程两边同时乘以cg\frac c ggc：
axgcg+bygcg=gcg=cax_g\frac c g+by_g\frac c g=g\frac c g=c axggc+byggc=ggc=c
所以我们就找到了一个特解：
x0=xgcgy0=ygcgx_0=x_g\frac c g\\ y_0=y_g\frac c g x0=xggcy0=yggc
那特解呢？我们把通解代入方程然后再加上俩个特殊的数字
a(x0+kbg)+b(y0−kag)=ax0+by0+kabg−kabga(x_0+\frac{kb}{g})+b(y_0-\frac{ka}{g})=ax_0+by_0+\frac{kab}g-\frac{kab}g a(x0+gkb)+b(y0−gka)=ax0+by0+gkab−gkab
所以特解就是（k为任意整数）：
x=x0+kbgy=y0−kagx=x_0+\frac{kb}{g}\\ y=y_0-\frac{ka}{g} x=x0+gkby=y0−gka
读者会诧异为什么要除以g，虽然不除于g也是解，但是除以g是为了找出所有的解，只有包含了所有的解才能叫通解all solutions嘛。

三代码实现

我用python实现的，但是我把以前的扩展欧几里得法代码修改了下，增加了一个返回值最大公约数g。因为无论是校验方程是否可解，还是求特解和表示通解，这个g都特别重要。

def extend_euclid(a: int, b: int):if a < b:x, y, g = extend_euclid(b, a)return y, x, g# 保存a/b的系数coefficients = []while b != 0:coefficients.append(a // b)a, b = b, a % b# 循环代入x, y = 1, 0coefficients.reverse()for i in coefficients:x, y = y, x - y * ireturn x, y, adef diophantine(a, b, c):x_g, y_g, g = extend_euclid(a, b)if c % g != 0:raise 'No solutions'return x_g * c // g, y_g * c // g, b // g, -a // gif __name__ == '__main__':x0, y0, xk, yk = diophantine(6, 9, 27)print(f'solution is x ={x0} {"+" if xk > 0 else ""}{xk}t, y = {y0} {"+" if yk > 0 else ""}{yk}t')

测试结果：

solution is x = -9 +3t, y = 9 -2t

测试结果完全正确，哦，耶，挑战下一数论题目。

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