CodeForces - 1452E Two Editorials(二阶差分)

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题目大意：给出 m 个区间，现在可以选择两段长度为 k 的区间进行覆盖，记为 a 和 b，对于每个区间来说，假设被 a 覆盖的长度为 len_a，被 b 覆盖的长度为 len_b，假设 len_a > len_b，那么其将会被 a 覆盖，且提供 len_a 的贡献，反之被 b 覆盖且提供 len_b 的贡献，问如何选择 a 和 b 可以使得总贡献最大

题目分析：比较显然的一个 n^3 的暴力就是：O( n ) 枚举 a，O( n ) 枚举 b，最后 O( n ) 枚举每个区间计算贡献

考虑优化，假设我们已经枚举好了 a，记为 [ L , R ]，再计算每个区间与其交集，len[ i ] 表示的是第 i 个区间与 [ L , R ] 的交集，不过此时我们默认的是所有 len[ i ] > 0 的区间都是被 a 覆盖的，所以我们考虑差分维护一下贡献，我们最后的目标是为了得到一个数组 len_b，len_b[ i ] 代表的是，如果 b 的左端点或右端点选择到了点 i 时，不与 a 的覆盖所冲突的最大贡献，这句话可以这样理解：依然假设 len_a 和 len_b 是与某段区间交集的长度，显然 len_a 就是刚刚求出的 len[ i ] 了：

如果 len_a >= len_b：那么此时该区间选择被 a 覆盖是更优的，所以 b 不做贡献
如果 len_a < len_b：那么此时被区间 b 覆盖是更优的，且被 b 覆盖后，贡献增加了 len_b - len_a

所以我们的目标就是维护出 len_b[ i ] 这个数组即可

画两张图应该就可以包含所有情况了

我们这里的 len_b[ i ] 代表的是，b 的右端点取到点 i 时的 贡献差

不难看出上述两个图中，当点 i 取到绿色区域时，随着 i 右移，贡献会不断加一，当点 i 取到黄色区域时，贡献会不变，当点 i 取到蓝色区域时，会随着 i 右移贡献不断减一，这个自己想一下应该就能想过来了

所以对 len_b[ i ] 初始时维护一个二阶差分，然后两次前缀和复原即可，上面的几个关键位置都特地写出来了，直接实现即可

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e3+100;int l[N],r[N],delta[N<<1];int cal(int l1,int r1,int l2,int r2)//计算交集长度
{return max(0,min(r1,r2)-max(l1,l2)+1);
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m,k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",l+i,r+i);int ans=0;for(int i=1;i+k-1<=n;i++){int L=i,R=i+k-1;int res=0;memset(delta,0,sizeof(delta));for(int i=1;i<=m;i++){int len=cal(l[i],r[i],L,R);res+=len;delta[l[i]+len]++;delta[min(r[i]+1,l[i]+k)]--;delta[max(r[i]+1,l[i]+k)]--;delta[r[i]+k-len+1]++;}for(int i=1;i<=n;i++)//还原二阶差分 delta[i]+=delta[i-1];for(int i=1;i<=n;i++)//还原一阶差分 delta[i]+=delta[i-1];for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,delta[i]+res);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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