合肥工业大学宣城校区计算方法实验一

1实验目的和要求

实验目的：理解拉格朗日插值算法及牛顿插值算法的程序实现方法。
程序任务：
1）依据课本18页图1-3编程实现拉格朗日插值算法，并完成54页课后习题6.
注：分别以三个小题目中给出的条件画出插值函数，比较它们的不同。
2)编程实现牛顿插值算法，并完成如下题目：
用牛顿插值法来求sinx在区间多点的值，已知sin0°= 0, sin30°= 0.5, sin45°= 0.7071, sin60° = 0.8660, sin90°= 1. 以此为依据画出sinx在区间的图像。

2实验环境和工具

用matlab或C语言实现

3实验结果

3.1算法流程图
拉格朗日算法

3.2程序核心代码
c语言：

#include<stdio.h>void achievel(void);
void achieveNew(void);
int main()
{int m;printf("1.实现拉格朗日算法\n2.实现牛顿插值算法\n\n");scanf("%d",&m);switch(m){case 1:achievel();break;case 2:achieveNew();break;}return 0;
}void achievel(void)//实现拉格朗日插值算法
{double xi[20],yi[20];double x,y,t;int i=0,j,k;printf("输入x的值：\n");scanf("%lf",&x);getchar();printf("输入多个点的横纵坐标：\n");while(i<20){scanf("%lf %lf",&xi[i],&yi[i]);//输入9999终止if(xi[i]==9999){break;}i++;}y = 0;for(k=0;k<i;k++){t = 1;for(j=0;j<i;j++){if(j!=k){t = t*(x-xi[j])/(xi[k]-xi[j]);}}y = y + t*yi[k];}printf("纵坐标为：%lf",y);
}void achieveNew(void)//实现牛顿插值算法
{double x,y;double xi[20],yi[20],fx[20][20];int i,j,k,m;printf("输入x的值：\n");scanf("%lf",&x);printf("输入多个点的横纵坐标：\n");for(i=0;i<20;i++){scanf("%lf %lf",&xi[i],&yi[i]);//输入9999fx[0][i] = yi[i];if(xi[i]==9999){break;}}m = i;for(i=1;i<m;i++)//得到差商{for(j=i;j<m;j++){fx[i][j] = (fx[i-1][j]-fx[i-1][j-i])/(xi[j]-xi[j-i]);}}y = fx[0][0];for(i=1;i<m;i++){k = 1;for(j=i;j>0;j--){k = fx[i][i]*(x-xi[j-1])*k;}y = y+k;}printf("纵坐标为：%lf",y);
}

Python（画图）：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import mathdef achievel(s):x = np.linspace(-5, 5, 50)x0 = -1x1 = 1y0 = -1y1 = 1if(s==1):y = (x-x1)/(x0-x1)*y0y = y + (x-x0)/(x1-x0)*y1else:x2 = 0y2 = 0if(s==2):y = (x-x1)*(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)*y0y = y + (x-x0)*(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)*y1y = y + (x-x0)*(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)*y2elif(s==3):x3 = 2y3 = 8y = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)*y0y = y + (x-x0)*(x-x2)*(x-x3)/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)*y1y = y + (x-x0)*(x-x1)*(x-x3)/(x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)*y2y = y + (x-x0)*(x-x1)*(x-x2)/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)*y3plt.figure()plt.plot(x, y)plt.show()def achieven():x1 = 0x2 = math.pi/6x3 = math.pi/4x4 = math.pi/3x5 = math.pi/2y1 = 0y2 = 0.5y3 = 0.7071y4 = 0.8660y5 = 1y12 = (y2-y1)/(x2-x1)y23 = (y3-y2)/(x3-x2)y34 = (y4-y3)/(x4-x3)y45 = (y5-y4)/(x5-x4)y13 = (y23-y12)/(x3-x1)y24 = (y34-y23)/(x4-x2)y35 = (y45-y34)/(x5-x3)y14 = (y24-y13)/(x4-x1)y25 = (y35-y24)/(x5-x2)y15 = (y25-y14)/(x5-x1)x = np.linspace(0, math.pi/2, 50)y = y1+y12*(x-x1)+y13*(x-x1)*(x-x2)+y14*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)y = y+y15*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)plt.figure()plt.plot(x, y)plt.show()

3.3运行结果

3.4运行结果分析
根据运行结果可得：拉格朗日算法的拟合效果较好，牛顿插值算法的拟合效果也很好。牛顿插值算法更适合较为复杂的函数进行拟合，而拉格朗日算法适合相较简单一点的函数。两者都是适合预估的函数值的算法。

4实验心得

在本次实验中，拉格朗日算法已经给出算法流程图，实现起来并不困难。牛顿插值算法虽然没有给出算法流程图，但这也帮助我们回顾了这个算法。
在这次实验中，我最大的收获，就是了解了c语言的局限性。画图可以使用c++、matlab、java、python，但无法使用c语言画图，或者说，用c语言画出函数图像的难度大大提高，用其他语言画函数的图像，难度较低。也证明了c语言有它的优越性，也有其局限性，c语言在图形处理方面不如别的语言。
这更让我明白，一个合格的程序员不能只掌握一种语言，一种语言对于一个合格的程序员是远远不够的，我们在掌握多门语言的基础上，也需要尽全力学通每一门语言，只有做到这两点，我们才能在未来大显身手。
这一次的实验，也是对我们的促进，告诉我们需要不断努力。