前言

一. 特征列方法

举例 1

二. 微分代数几何的基本定义

举例 2

三. 多变元多项式的单变元形式

举例3

四. 伪除法（Pseudo-division)

举例4

举例5

五. 三角列与升列

举例6

前言

吴文俊（1919-2017）曾出版《数学机械化》一书，旨通过计算机来分析数学问题，将方程求解与自动化推理结合起来。先生可称之为人工智能的先驱，首创符号主义，为铭记其贡献，现有冠名的奖项“吴文俊人工智能科学技术奖”。吴文俊，华罗庚，钱学森也是新中国首批获得国家自然科学一等奖的三位得主。

一. 特征列方法

构造性代数几何是通过构造性的观点来研究方程组。Van der Waerdern-Weil Style就是利用几何离散点，通过母点（generic point）以及特定化（specialization）作为主要的工具。其中最主要的构造性方法就是使用特征列方法（包含三角化方法）。

现比较Grobner基方法和特征列方法。

Grobner方法：消项，计算Spoly消去首项
特征列方法：伪除法消去主变元，零点分解

构造性的过程可见如下图：

举例 1

元朝年间，朱世杰曾在《四元玉鉴》中提出一个三变量二次的例子，如下：

$P_1=xyz-xy^2-z-x-y$

$P_2=xz-x^2-z-y+x$

$P_3=z^2-x^2-y^2$

利用升列和特征列形成并集如下：

其中 $C_1,C_2,C_3$ 表示如下：

二. 微分代数几何的基本定义

多项式系数的域F代表基域。 $X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 为变量集合， $x_1<x_2<\ldots<x_n$ 称为变量的自然序（以角标确定大小序）。

设某个多项式 $P\in F[X]$ 。列举出所有重要的定义：

$deg(P,x_i)$ ：P关于 $x_i$ 的次数;

$clc(P)$ ：P的类（class），P中出现的 $x_c$ 的最大下标C。特例当P=0时，定义cls(P)=0;

$lvar(P)$ ：P的主变元。若cls(P)=c时， $lvar(P)=x_c$ 。此简写的全称为leading variable；

$deg(P)$ :此定义等于 $deg(P,x_c)$

举例 2

若 $P=2x_1^2+2x_3^3+x_2x_3^2+x_1x_2$ ，求 $lvar(P),cls(P),deg(P)$ 。

解：

$lvar(P)=x_3,cls(P)=3,deg(P)=3$

三. 多变元多项式的单变元形式

类为c>0的非常量多项式P可以写成如下正则形式：

$P=I\cdot x_c^d+x_c$ 低次项

正则形式可以看成关于 $x_c$ 的单项式。令 $c=cls(P)>0,d=deg(P)>0$ ，则I称为P的初式(initial)记为init(P)，低次的部分称为P的尾式。

举例3

令 $P=2x_1^2x_2x_3^3+x_2x_3^2+x_1x_2$ ，求cls(P)，主变元，初式I，尾式Q

解：

$P=Ix_3^3+Q$ ，由此 $cls(P)=3$ ,主变元 $x_3$ ，初式I为 $2x_1^2x_2$ ，I的本质也是一个多项式，尾式Q为 $x_2x_3^2+x_1x_2$ 。

四. 伪除法（Pseudo-division)

伪除法过程一共有四步如下：

设P,Q为非零多项式,c=cls(P),d=deg(P),I=init(P)

令R=Q，重复操作 $R:=IR-b_mx_c^{m-d}P$ ，其中 $b_m$ 是R关于 $x_c$ 的首系数，重复直到 $m=deg(R,x_c)<d$

观察重复过程，每次操作后m都是严格递减的。所以这个过程在某个阶段必定会终止

最终可得 $I^SQ=GP+R$

上述步骤中 $G,R\in R_q$ ，s是非零整数。最终的R=0或者 $deg(R,x_c)<d$ ，此时的R称为Q关于P的伪余式（Pseudo-remainder)，记作prem(Q,P)。

举例4

域上单变元多项式 $P=5x_1,Q=2x_1^2+3x_1$ ，求prem(Q,P)。

解：因为 $2x_1^2+3x_1=(\frac{2}{5}x_1+\frac{3}{5})5x_1$ ，刚好除尽无余式。所以prem(Q,P)=0。

举例5

给定 $P=x_1x_2^2x_3+1,Q=2x_1^2x_2x_3^3+x_2x_3^2+x_1x_2$ ，求解prem(Q,P)并分析结果。

解：

$I=init(P)=x_1x_2^2$

$IQ=2x_1^3x_2^3x_3^3+x_1x_2^3x_3^2+x_1^2x_2^3$

① 第一轮迭代

$R_1=IQ-(2x_1^2x_2)x_3^2P=x_1x_2^3x_3^2+x_1^2x_2^3-2x_1^2x_2x_3^2=(x_1x_2^3-2x_1^2x_2)x_3^2+x_1^2x_2^3$

$deg(R_1,x_3)=2$

②第二轮迭代

$IR_1=x_1x_2^2(x_1x_2^3-2x_1^2x_2)x_3^2+x_1^3x_2^5$

$R_2=IR_1-(x_1x_2^3-2x_1^2x_2)x_3P=x_1^3x_2^5-(x_1x_2^3-2x_1^2x_2)x_3$

$deg(R_2,x_3)=1$

③第三轮迭代

$IR_2=-x_1x_2^2(x_1x_2^3-2x_1^2x_2)x_3+x_1^4x_2^7$

$R_3=IR_2+(x_1x_2^3-2x_1^2x_2)P=x_1^4x_2^7+x_1x_2^3-2x_1^2x_2$

$deg(R,x_3)=0$

到此运行终止， $R_3$ 即为最后所要求的项。

分析：

$IQ=R_1+PT_1$

$IR_1=R_2+PT_2$

$IR_2=R_3+PT_3$

所以 $I^3Q=R_3+P(T_1+T_2+T_3)$

最终 $I^3Q=R_3+PG$ 。证实每一步R的degree都是严格递减的。

五. 三角列与升列

如果 $clc(P)=c>0$ 且 $deg(Q,x_c)<deg(P)$ ，则称Q关于P是约化的。显然R=prem(Q,P)关于P是约化的。

三角列

一个多项式集A称作是一个三角列，如果其中的多项式均非零，且能够排成序列

$A:A_1,A_2,\ldots,A_r$

使得 $cls(A_1)<cls(A_2)<\ldots<cls(A_r)$

举例6

$A=A_1,A_2,A_3, A_1=2x_1,A_2=3x_2^2+x_1,A_3=4x_1x_2x_3+x_1x_2$ ，判断多项式集A是否为三角列。

解：

$A_1=2x_1,cls(A_1)=1$

$A_2=3x_2^2+x_1,cls=2$

$A_3=4x_1x_2x_3+x_1x_2,cls(A_3)=3$

显然为一个三角列

升列

A是三角列且同时满足：对任意j>k, $A_j$ 关于 $A_k$ 是约化的。

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微分代数几何基础（1）

前言

一. 特征列方法

举例 1

二. 微分代数几何的基本定义

举例 2

三. 多变元多项式的单变元形式

举例3

四. 伪除法（Pseudo-division)

举例4

举例5

五. 三角列与升列

举例6

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