题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/489/

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过NNN元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有000个、111个或222个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的NNN元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为555等：用整数1∼51\sim 51∼5表示，第555等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是101010元的整数倍）。他希望在不超过NNN元（可以等于NNN元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第jjj件物品的价格为v[j]v[j]v[j]，重要度为w[j]w[j]w[j]，共选中了kkk件物品，编号依次为j1,j2,…,jkj_1,j_2,…,j_kj1,j2,…,jk，则所求的总和为：v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w[j2]+…+v[jk]∗w[jk]v[j_1]∗w[j_1]+v[j_2]∗w[j_2]+…+v[j_k]∗w[j_k]v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w[j2]+…+v[jk]∗w[jk]（其中∗*∗为乘号）请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式：
输入文件的第111行，为两个正整数，用一个空格隔开：NmN\ mN m，其中NNN表示总钱数，mmm为希望购买物品的个数。从第222行到第m+1m+1m+1行，第jjj行给出了编号为j−1j-1j−1的物品的基本数据，每行有333个非负整数v,p,qv, p, qv,p,q，其中vvv表示该物品的价格，ppp表示该物品的重要度（1∼51\sim 51∼5），qqq表示该物品是主件还是附件。如果q=0q=0q=0，表示该物品为主件，如果q>0q>0q>0，表示该物品为附件，qqq是所属主件的编号（指的是第一次遇到这个主件的时候的计数，从111开始数）。

输出格式：
输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000<200000<200000）。

数据范围：
N<32000,m<60,v<10000N<32000,m<60,v<10000N<32000,m<60,v<10000

更好的做法参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/125026481。

可以看成是分组背包问题，每个物品体积就是viv_ivi，价值就是vi×piv_i\times p_ivi×pi。每个主件及其所有附件打包成一起看成一组，每组的选择是，可以买其主件与附件的任意搭配（比如其有uuu个附件，那么搭配的方案数就是2u2^u2u种）。用动态规划来做即可，设f[i][j]f[i][j]f[i][j]是只考虑前iii组物品的情况下，总成本不超过jjj时的最大价值，那么可以按照第iii组选哪个来分类（这里的“选哪个”包含第iii组物品的所有搭配，比如不选第iii组，只选主件，只选主件和第一附件，等等），如果不选，那么最大价值就是f[i−1][j]f[i-1][j]f[i−1][j]，如果选，那么最大价值就是f[i−1][j−vi]+vi×pif[i-1][j-v_i]+v_i\times p_if[i−1][j−vi]+vi×pi（这里要遍历所有附件的搭配情况），两者取大即可。代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int N = 70, M = 32010;int n, m;
// 存主件的价格和收益
PII master[N];
// servant[i]存i号主件的价格和收益
vector<PII> servant[N];
int f[M];int main() {cin >> m >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {int v, w, q;cin >> v >> w >> q;// q是0的话，当前物品是主件if (!q) master[i] = {v, v * w};// 否则是附件，价格是v，收益是v * welse servant[q].push_back({v, v * w});}for (int i = 1; i <= n; i++) // 这是0-1背包问题，体积要从大到小遍历for (int j = m; j >= 0; j--) {auto &sv = servant[i];// 枚举所有附件的搭配情况，用状态压缩的办法枚举for (int k = 0; k < 1 << sv.size(); k++) {int v = master[i].first, w = master[i].second;for (int u = 0; u < sv.size(); u++)if (k >> u & 1) {v += sv[u].first;w += sv[u].second;}if (j >= v) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

时间复杂度O(Nm)O(Nm)O(Nm)，空间O(m)O(m)O(m)。

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