研究混沌运动，少不了对分形理论的探讨。分形：通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。

本篇将从一维过度到三维介绍分形图案的产生，一维类比康托尔集直线三等分的生成，此处比较简单我们不过多讨论，我们重点分析如何通过使用Java语言，实现Sierpinski和Menger sponge分形图案的过程（多图）。

谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形

谢尔宾斯基三角形和它本身的一部分完全相似，它是自相似集的经典例子。

构造特点

取一个三角形边框（常用等边三角形）
沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形
去掉中间的那一个小三角形
对其余三个小三角形都重复1~3的操作

代码实现

UI界面鼠标监听器获取鼠标点击处的坐标，再由此坐标和等腰三角的边长关系，得到三角形其余两点坐标：

int x = (int)e.getX();
int y = (int)e.getY();
int length = 120;//设定三角形边长为2*length
int x2 = x+length;//以下为坐标变换
int x3 = x-length;
int y2 = (int)(y-length*Math.sqrt(3));
int y3 = (int)(y-length*Math.sqrt(3));
int count =6;//迭代次数初始值

方法一：

此方法是绘制Sierpinski三角形的典型思路，与构造特点思路对应。

public void triangle_1(int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int count){//将三角形三顶点坐标存入数组中int m[]={x1,x2,x3};int n[]={y1,y2,y3};//绘制三角形边框g.drawPolygon(m, n, 3);//迭代次数减1，再判断count--;if(count>0){//计算三边中点坐标int x4=(x1+x2)/2;int x5=(x1+x3)/2;int x6=(x2+x3)/2;int y4=(y1+y2)/2;int y5=(y1+y3)/2;int y6=(y2+y3)/2;//迭代到不包括最中间的其余三个小三角形中triangle_1(x1,y1,x4,y4,x5,y5,count);triangle_1(x2,y2,x4,y4,x6,y6,count);triangle_1(x3,y3,x5,y5,x6,y6,count);}}

绘制结果（1）

此结果是迭代6次的效果，三顶点变换方向不同，效果会有区别，但大同小异。

方法二：

与方法一的思路略有不同，我们不排除中间的三角形，而是以它为主，先绘制最中间的实心三角形，再对三边的三个不同方向作迭代，变化过程中只改变三角形边长大小为之前的1/2，并朝此方向作平移，重复上述过程。

public void triangle_2(int length,int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int l){/*此处代码作用是将三角形三顶点坐标转换，并保存至数组中由于与上述重复，不再赘述*///判断断边长大小决定是否继续递归if(length>4){g.setColor(new Color(length,l/4,length+l/4));g.fillPolygon(m, n, 3);length = length/2;//边长递减一半l = (int) (2*length*Math.sqrt(3));   //小三角形每次变化所要平移的距离System.out.println("X坐标："+m[0]+"-"+m[1]+"-"+m[2]+" Y坐标："+n[0]+"-"+n[1]+"-"+n[2]+" 边长="+2*length);g.setColor(new Color(l/4,l/4+length,l/4));g.fillPolygon(m, n, 3);//迭代到不包括最中间的其余三个小三角形中triangle_2(length,x1,y1,x2,y2,x3,y3,l);triangle_2(length,x1+2*length,y1+l,x2+2*length,y2+l,x3+2*length,y3+l,l);triangle_2(length,x1-2*length,y1+l,x2-2*length,y2+l,x3-2*length,y3+l,l);}}

绘制结果（2）

迭代过程中对三角形的填充的颜色做了变化，如果变换背景颜色，与最后迭代时小三角形颜色相近，会产生更好的效果：

同理，Sierpinski矩形地毯的绘制思路与Sierpinski三角形完全一致，不再赘述，只是我们可以多些变化，比如添加倒角效果如下：

可能渐变效果并不好，此处只是分享一种变化的思路，Sierpinski的部分我们就介绍到这里。

门格海绵（Menger sponge）

它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广

构造特点

画出一个立方体
将它等分三层（底层，中层，顶层）即等分27个完全相同的小立方体
掏空每一面中央的小立方体，包括最内层的小立方体
对剩余的20个小立方体都重复1~3的操作，并渐变填充每个小立方体的三面，使其更有立体感

过程如图：

代码实现

网上随已有现成源码，但所做封装较多，普遍篇幅较长，本人整理如下的代码量可以缩减到一半以下，可读性大大提高。对比另一种方法：单靠不断叠加for循环的实现过程，此方法避免了代码尾段落全是 } 的尴尬，修改也更便捷，只需设定初始迭代值即可，逻辑更清晰易懂。

 int x = (int)e.getX();int y = (int)e.getY();int count =6;int d=486,dx=243,dy=243; //正方体边长、右、上侧透视深度

由于绘制立方体不会用到被遮挡的顶角，所以只需记录7个顶角坐标。其中P0点是我们认定的小方块起始绘制的首地址。

public void Menger_Sponge(int x,int y,int d,int dx,int dy,int count){//记录单个方块7个顶角的坐标Point p0 = new Point(x,y);Point p1 = new Point(p0.x+d,p0.y);Point p2 = new Point(p1.x,p1.y+d);Point p3 = new Point(p2.x-d,p2.y);Point p4 = new Point(p0.x+dx,p0.y-dy);Point p5 = new Point(p1.x+dx,p1.y-dy);Point p6 = new Point(p2.x+dx,p2.y-dy);count--; //递归次数减1if(count>=0){//递归到底层各小方块的首地址Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3,p0.y-2*dy/3+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3+d/3,p0.y-2*dy/3+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3+2*d/3,p0.y-2*dy/3+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+dx/3,p0.y-dy/3+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+dx/3+2*d/3,p0.y-dy/3+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x,p0.y+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+d/3,p0.y+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*d/3,p0.y+2*d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);//递归到中层各小方块的首地址Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3,p0.y-2*dy/3+d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3+2*d/3,p0.y-2*dy/3+d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x,p0.y+d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*d/3,p0.y+d/3,d/3,dx/3,dy/3,count);//递归到顶层各小方块的首地址Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3,p0.y-2*dy/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3+d/3,p0.y-2*dy/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*dx/3+2*d/3,p0.y-2*dy/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+dx/3,p0.y-dy/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+dx/3+2*d/3,p0.y-dy/3,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x,p0.y,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+d/3,p0.y,d/3,dx/3,dy/3,count);Menger_Sponge(p0.x+2*d/3,p0.y,d/3,dx/3,dy/3,count);}else{//填充正面矩形Polygon poly1 = new Polygon();poly1.addPoint(p0.x, p0.y);poly1.addPoint(p1.x, p1.y);poly1.addPoint(p2.x, p2.y);poly1.addPoint(p3.x, p3.y);g.setColor(new Color(150,0,0));g.fillPolygon(poly1);//填充右面矩形Polygon poly2 = new Polygon();poly2.addPoint(p1.x, p1.y);poly2.addPoint(p2.x, p2.y);poly2.addPoint(p6.x, p6.y);poly2.addPoint(p5.x, p5.y);g.setColor(new Color(200,0,0));g.fillPolygon(poly2);//填充上面矩形Polygon poly3 = new Polygon();poly3.addPoint(p0.x, p0.y);poly3.addPoint(p1.x, p1.y);poly3.addPoint(p5.x, p5.y);poly3.addPoint(p4.x, p4.y);g.setColor(new Color(100,0,0));g.fillPolygon(poly3);}}

绘制结果

这是迭代3次产生的结果，需要注意的是，三等分边长可能会出现浮点数，故建议按照3的倍数来设定初始值，以防各小方块分离的情况。

结尾

不论一维的cantor集，还是二维的Sierpinski地毯，又或者三维的Menger sponge绘制，迭代的思路无非都遵循了分形图案的特点：每个局部的形状都是整体图案缩小的效果，局部再分形也同样符合。
所以包括L-树，科赫雪花等分形图案的绘制我们也能如法炮制。

问题

门格海绵的绘制中，时间复杂度大，随着迭代次数增加，耗时明显变多有没有更好的方法可以解决这种问题呢？
例如：立方体的8个顶点我们只需要保存7个，立方体的6个面我们只需要绘制出3个，迭代过程中的小立方体有些是被遮挡不需要绘制的，如果我们能有更好的算法，一次性画出迭代的门格海绵，那么这个问题可以得到很好的解决。

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