浅谈小波框架和对偶小波

2006113s25 计算机应用 徐益龙

前言：

本文主要论述了小波框架和对偶小波的定义以及在离散小波逆变换中的作用。小波分析是一门对数学知识和具体工程应用都有相当要求的理论。本文将尽量采用比较浅显、易懂的语言来描叙这两个问题，以使其更加容易理解。然而，对于小波理论如果不接触到数学，就像鸟儿没有翅膀想在天空飞翔一样，当然是绝对不可能的事情，爱因斯坦也告诉我们要“尽可能简单，而不是更简单”。

在小波变换中，当我们将连续小波离散化处理后，自然会引出两个问题：

1、 离散小波变换系数是否能完全的表征原信号的全部信息，即能否从离散小波系数精确的恢复原始信号。

2、 是否任何信号都可以表示为离散小波基的线性组合，而其中的组合系数需怎样求取。

上面两个问题实际上可以归结到一个问题，即离散二进小波的逆变换问题。要回答这个问题，我们必须要借助于框架和对偶小波的理论。

预备知识：

在具体讨论框架和对偶小波以前，我们需要大概了解一下小波理论的预备知识，这里让我来先介绍一下各种类型的空间之间的关系。

具体的联系如下图所示：

图 1

如果设 为一函数序列，X表示 所有可能的线性组合构成的集合，称X为由序列 张成的线性空间。如果是线性无关的，则称{ }  为空间的一个基底，如果设x,y为内积空间的两个元素，有<x,y>=0,则称x,y是正交的，如果内积空间X中元素列{ }满足其中任意两列的内积为0，而只有同一列为1，我们就说{ }为标准正交系，而如果{ }为标准正交系，而空间中再也不存在除了0以外的元素能够使得他和{ }内所有元素正交的话，我们就说{ }为完全正交系。

小波框架和对偶基：    在小波变换中，我们希望能够找到一组通过母小波通过尺度和平移而得到的正交的小波基底，这样我们就可以很好的将小波信号函数f(x)通过小波投影到基底上而得到一组系数，然后我们就可以通过记录这组系数以及根据已经知道的基底来恢复原来的小波信号。

则有 ，将其代入上式，得：

上面的式子在数学上其实是非常完美的，那为什么我们还需要对偶基和小波框架的存在呢？原因其实是很简单的，那就是因为在实际应用中，我们很难找到这样的正交基底。

这个时候，我们就需要引出小波框架和双正交基以及对偶基的概念。

首先，先描叙一下双正交基，双正交基是说在某些情况下，基底并不满足正交关系，对于这种情况，于是我们引入了对偶基

则我们可以取f(t)在对偶基的投影作为系数来恢复信号f(t),公式如下：

这样的话，随着约束条件的降低，我们的小波基底就更加容易找到了。而且一个小波基的对偶不一定是唯一的。

能量守恒定理在目前这个世界是普遍存在的，在科学的很多领域都会有能量守恒公式，它的一种形式如下所示：

对于任意x属于X,

为了使重构更加有效，我们需要原始信号和展开域之间有一个能量对应的关系，以使展开系数能够很好的表达原来的信号，这样我们就引进了框架的概念。利用框架可以将转换前后的能量控制在一个指定的范围内。

框架的定义如下：

设H为一个希尔伯特空间， 为空间中的一个函数序列，若对于任意f H,存在0<A<B< ,使得下列不等式存在：

则称 为一个框架；称A,B为框架的上下界。

我的理解就是，如果找不到正交基，或者找不到双正交基，那么我们得到的序列基底怎样去评价它呢？这是我们就用框架来评价它。当A=B=1时，我们就称此框架是正交的，这个时候是完全满足能量守恒公式的。退一步来说。如果只有A=B，这个时候，虽然是紧框架，但是一般并不是正交的。只要是满足框架约束的，我们都可以顺利的找到一个原基底的一个具有良好性质的对偶基。至于找对偶基的方法，经过很多人的努力，已经找到了很多的方法去寻找合适的对偶基。

下面的这个图，从左至右，对基底的要求越来越严格，而性质也越来越好。

对偶小波实际上如果从数学上来推导的话，是非常复杂和困难的，有兴趣详细研究的朋友可以参考一下Daubechies的Ten Lectures on Wavelets(小波十讲)的框架一章。

个人学习心得

对于小波的学习来说，个人认为如果你只是想使用小波解决工程上的一般问题的话。这个是比较容易学到手的，但是如果你自己想真正的了解小波理论的来龙去脉，更好的随心所欲的使用小波，甚至构造自己的小波，则需要下非常大的功夫，傅立叶变换和泛函分析是基本前提条件。这也是有些人说小波容易，也有人说小波难学的原因之一吧。

对于我个人来说，一个学期的小波学习下来，虽然也花了不少精力，但是感觉现在看小波还是只在此山中，云深不之处。目前市面上的小波的书还是比较多的，纪震老师推荐的小波变换与工程应该（彭玉华）是相对来说入门比较好的一本书，每次读都会有更深的体会。同样，还有一本国防科技大学出版社出版的”实用小波分析入门”是相对来说更简单的一本书，可以让你比较容易的对小波有一个全面的理解，也是我看到的所有小波书里面个人感觉最好的一本入门书。另外，唐远炎老师的”小波分析和文字识别”也是相当不错的一本小波书籍，不过暂时我还没有详细去读它，美国斯坦福大学崔锦泰老师的”小波分析导论”也是一本网友向我推荐的书。说到小波的学习，如果不说比利时的Daubenchies博士的名著”小波十讲”是不可思议的，在我看来，这本书偏向于小波原理讲解，数学知识较多，一般人读起来可能困难会比较大，个人认为不太适合于小波入门，可以当作小波的进阶学习来使用。

最后，目前网络这么发达，网上也有很多很好的资源可以利用，我个人经常去的是”研学论坛(http://bbs.matwav.com/)”,里面有不少资源，也有很多热心的朋友帮你答疑解惑。

参考文献：

1 小波变换与工程应用    彭玉华

2 小波分析及其在图像处理中的应用     陈武凡

3 小波十讲       Ingrid Daubechies 李建平 杨万年 译

4  研学论坛小波与信号处理版  http://bbs.matwav.com/