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第四节

三重积分及其计算和多重积分

在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的

n

维空间中去

.

类似于第三节

,

我们先定义一个

R

3

中集合的可求体积性

.

同样可以给出一列类似的结论

.

读者自己推广

.

这里将不再赘述

.

一、

引

例

设一个物体在空间

R

3

中占领了一个有界可求体积的区域

V

，它的点密度为

z

y

x

f

,

,

，

现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域

V

分割为若干个

可求体积的小区域

n

V

V

V

,...,

,

2

1

，

其体积分别是

n

V

V

V

,...,

,

2

1

，

直径分别是

n

d

d

d

,...,

,

2

1

，

即

}

,

||

sup{|

i

i

V

Q

W

WQ

d

,

(

i

=1,2,

…

,

n

)

,

|WQ|

表

示

W,

Q

两

点

的

距

离

．

设

}

,...,

,

m

ax

{

2

1

n

d

d

d

，则当

很小时，

z

y

x

f

,

,

在

i

V

上的变化也很小．可以用这个小

区域上的任意一点

i

i

i

z

y

x

,

,

的密度

i

i

i

z

y

x

f

,

,

来近似整个小区域上的密度，这样我们可

以求得这个小的立体的质量近似为

i

i

i

i

V

z

y

x

f

,

,

，所有这样的小的立体的质量之和即为

这个物体的质量的一个近似值．即

i

i

i

i

n

i

V

z

y

x

f

M

,

,

1

．

当

0

时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即

i

i

i

i

n

i

V

z

y

x

f

M

,

,

lim

1

0

．

从上面的讨论可以看出，

整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，

都是先分割，

再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．

二、

三

重积分的定义

设

z

y

x

f

,

,

是空间

3

R

中的一个有界可求体积的闭区域

V

上的有界函数，

将

V

任意分割

为若干个可求体积的小闭区域

n

V

V

V

,...,

,

2

1

，

这个分割也称为

V

的分划，

记为

P

:

n

V

V

V

,...,

,

2

1

.

o

o

j

i

V

V

(

空

,

j

i

),

其体积分别是

n

V

V

V

,...,

,

2

1

，直径分别是

n

d

d

d

,...,

,

2

1

．设

}

,

.

.

.,

,

m

ax

{

2

1

n

d

d

d

,

或记为

||

P

||.

在每个小区域中任意取一点

i

i

i

i

V

z

y

x

,

,

，作和

i

i

i

i

n

i

V

z

y

x

f

,

,

1

(

称为

Riemann

和

)

，若当

0

时，这个和式的极限存在，则称其极

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