七、最短路径——弗洛伊德（Floyd）算法

为了能讲明白弗洛伊德（Floyd）算法的精妙所在，我们先来看最简单的案例。下图是一个最简单的3个顶点连通网图。

我们先定义两个二维数组D[3][3]和P[3][3]，D代表顶点到顶点的最短路径权值和的矩阵。P代表对应顶点的最小路径的前驱矩阵。在未分析任何顶点之前，我们将D命名为 $D^{-1}$ ，其实它就是初始的图的邻接矩阵。将P命名为 $P^{-1}$ ，初始化为图中所示的矩阵。

首先我们来分析，所有的顶点经过v0后到达另一顶点的最短路径。因为只有三个顶点，因此需要查看v1→v0→v2，得到 $D^{-1}$ [1][0] + $D^{-1}$ [0][2] = 2+1 = 3。 $D^{-1}$ [1][2] 表示的是v1→v2的权值为5，我们发现 $D^{-1}$ [1][2] > $D^{-1}$ [1][0] + D1[0][2]，通俗的话讲就是v1→v0→v2比直接v1→v2距离还要近。所以我们就让 $D^{-1}$ [1][2] = $D^{-1}$ [1][0] + $D^{-1}$ [0][2] = 3，同样的 $D^{-1}$ [2][1] = 3，于是就有了 $D^{0}$ 的矩阵。因为有变化，所以P矩阵对应的 $P^{-1}$ [1][2] 和 $P^{-1}$ [2][1] 也修改为当前中转的顶点v0的下标0，于是就有了 $P^{0}$ 。也就是说 $D^{0}[v][w] = min\left \{ D^{-1}[v][w],D^{-1}[v][0]+D^{-1}[0][w]\right \}$ ，此时的 $D^{0}$ 和 $P^{0}$ 分别是

接下来，其实也就是在 $D^{0}$ 和 $P^{0}$ 的基础上继续处理所有顶点经过v1和v2后到达另一顶点的最短路径，得到 $D^{1}$ 和 $P^{1}$ 、 $D^{2}$ 和 $P^{2}$ 完成所有顶点到所有顶点的最短路径计算工作。

现在我们来看一下弗洛伊德（Floyd）算法的具体实现，我们先给出下图所示的网以及它的 $D^{-1}$ 和 $P^{-1}$ 矩阵：

D代表顶点到顶点的最短路径权值和的矩阵。P代表对应顶点的最小路径的前驱矩阵。

具体实现：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;#define MAXVEX 100//最大顶点数
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上的权值类型
typedef struct
{VertexType vexs[MAXVEX];//顶点表EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];//邻接矩阵int numVertexte;//当前顶点数int numEdges;//当前边数
}MGraph;void ShortestPath_Floyd(MGraph G, vector<vector<int>>& P, vector<vector<int>>& D)
{for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i){for (int j = 0; j < G.numVertexte; ++j){D[i][j] = G.arc[i][j];//用G的邻接矩阵初始化DP[i][j] = j;}for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i){for (int j = 0; j < G.numVertexte; ++j){for (int w = 0; w < G.numVertexte; ++w){if (D[j][w] > D[j][i] + D[i][w])//如果经过下标为i的顶点路径比原两点间路径更短{D[j][w] = D[j][i] + D[i][w];//更新D的值P[j][w] = P[j][i];//更新P的值}}}}}
}/*我们可以通过下面这个函数将最短路径打印出来*/
void Print(MGraph G, vector<vector<int>>& P, vector<vector<int>>& D)
{for (int i = 0; i < G.numVertexte; ++i){for (int j = i+1; j < G.numVertexte; ++j){printf("v%d-v%d weight:%d ", i, j, D[i][j]);//打印源点 终点  以及他们之前的权int k = P[i][j];//第一个路径顶点下标printf(" path:%d", i);//打印源点while (k != j)//如果没有到终点{printf("-> %d", k);//打印路径顶点k = P[k][j];//获取下一个路径顶点下标}printf(" -> %d\n", j);//打印终点}printf("\n");}
}

最终我们得到的结果如下图所示：

那么如何由P这个路径数组得出具体的最短路径呢？以v0到v8为例，从上图的右图第v8列，P[0][8]=1，得到要经过顶点v1，然后将1取代0得到P[1][8]=2，说明要经过v2，然后将2取代1得到P[2][8]=4，说明要经过V4，然后将4取代2得到P[4][8]=3，说明要经过V3，…，这样很容易就推导出最终的最短路径值为v0→v1->v2→v4->v3->v6->v7->v8。

如果你面临需要求所有顶点至所有顶点的最短路径问题时，弗洛伊德（Floyd）算法应该是不错的选择。时间复杂度为 $O(n^{3})$ 。

另外，我们虽然对求最短路径的两个算法举例都是无向图，但它们对有向图依然有效，因为二者的差异仅仅是邻接矩阵是否对称而已。

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