为了从数学角度去了解魔方，一个称手的“数学工具”是必要的。
而这个工具，就是接下来要介绍的“置换”，用来描述“交换”的概念。

第二章 点的置换定义

核心概念：置换，置换的运算，置换的奇偶性。

定义2.1：现在给定

现在进行一个操作，即我们把这些点进行位置互换，叫做置换（根据抽屉原理我们知道换法一共有

这种置换

标准式

每一竖列，都代表

由于

所以，我们也可以写成循环式

周期）。
举个例子，以下两种写法，其对应的置换是相同的：

·注1：

·注2：以上例子中的

·注3：循环也是置换的一种，经过

评价：要注意，置换操作的操作对象是”位置“，而不是”对应标号的点“。

定义2.2：置换的运算
事实上，置换

所以，我们定义置换之间的复合运算，记做

另外，

定义2.3：置换的位置
置换

不动点

和动点

如果置换

不相交，即

推论2.4：两个置换

证明：当

所以

同理可得

在定义域

评价：这条定理也告诉我们，一个置换的循环式是唯一的（不考虑交换律和不动点）。

定理2.5：循环分解定理

证明：（数学归纳法）当

假设当

那么

则有

综上，原式对所有

评价：直观来说就是，一个

对换的复合的。对换就是

这个定理也可以推广到所有的置换中，因为置换可以表示为一连串循环的复合，所以也可以叫”置换分解定理“。

定义2.6：置换的奇偶性
首先，我们把

循环称作为一组对换。然后定义对换的奇偶性为-1，记做

然后，根据循环分解定理，把

对换的乘积。也就是

然后，根据置换分解定理，

代表的是

推论2.7：当置换

1.

2.

3.

4.

5.

6.

（厌倦计算的，可以直接跳过此部分证明，直接看结论定理2.8即可，不会影响其他部分的阅读。）

证明：1. 根据循环的奇偶性定义。
2.

3.

4. 考虑以下情况：

5.

6. 根据

A.没有相交。参考1的结论。
B.相交于一点。参考2的结论。
C.

D.

E.

综上所述，

评价：其实1-5都是把相交情况不同的式子都进行了计算，而根据对称性可以把具体数字改为任意情况，从而证明出6。

定理2.8：对所有的置换

证明：根据置换分解定理，

而根据推论2.7，可以把所有的

式子得证。■

评价：虽然文章到此似乎和魔方没有任何的关联。但是其实作为研究魔方的最核心的数学工具已经介绍完毕了。接下来，这个论证则会论证为何只有两角的互换在三阶魔方不会存在。

魔方定理3：以下情况不会存在于(三维)三阶魔方中。
1. 仅有两个角块交换位置；
2. 仅有两个棱块交换位置。

证：不考虑魔方表面全部的点，只考虑在每个块对应的

魔方定理2）：

（用不上的点就不标记数字了，为了方便）
考虑蓝色面转动对应的置换，分别是
顺时针：

逆时针：

所以，单步转动，仅考虑其作用于橙色点，是一个偶置换。
由于魔方所有状态都由“转动”生成，所以必然也是一个偶置换。■

评价：虽然到现在笔者并没有给出严格的魔方的定义，但是以上内容足以告诉我们“二角换”和“二棱换”都是不存在的。这个结论实际可以推广到任意维度和任意阶，严格论证会放到正式定义“魔方”后。

魔方定理4：
1. 任意的魔方状态，角块位置（也就是顶点）的置换 和 棱块位置（也就是棱的中心）的置换，是不相交的。
置换的角块部分记做

2.

3.

证：1.由于每个“转动”中，角块都只去角块位置，棱块都只去棱块位置，所以它们不会互换位置。
2.由于单次“转动”，对于

奇置换，所以多次转动组合起来，两部分的置换的奇偶性会保持一致。
3.多次转动下，其

评价：魔方定理3和4都是三阶魔方的位置相关的定理，主要是从其奇偶性的分析排除了一些“不可能”状态，和给“可能状态”一些分类。
根据3，我们能马上知道，PLL里面的“T字公式”步骤数必然是奇数；三棱换公式的步骤数必然是偶数等等。

结语

总结来说，点的置换和其运算，是魔方研究的一个有效数学工具。随着对更多的点的讨论和研究，我们也可以把“方向”的信息纳入分析和研究，并且对魔方不可能的情况作出否证。这部分将是之后章节的内容。

文后思考

问题2-1：在5阶魔方中，是否存在某个公式，只有两个非中间的中心的交换，其他块不变（白色标记）？为什么？

问题2-2：对于一个位置复原了的三阶魔方中，只有块的方向是打乱的。证明：该状态的复原公式步骤必然是偶数步。

答案将会在下一篇文章公布。

上一篇文章：

伍易东：魔方的数学1-n维立方体的性质​zhuanlan.zhihu.com

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