最大m子段和

一、定义

给定由n个整数（可能为负）组成的序列a1、a2、a3...,an, 以及一个正整数m，要求确定序列的m个不相交子段，使这m个子段的总和最大！

特别注意：有些题目可能不存在负数答案，给出的序列全是负数，那么不管m是多少，答案是0。此时选择的子段是0个，不足m个，但符合题意。。。也可能有些题目要求，必须选够m个子段。区别在dp数组的初始化。前者要求dp初始为0，后者要求第0行为0，其余为负无穷

二、解题思路

动态规划，借助矩阵可以直观的看到计算过程。

定义二维数组dp， dp[ i ][ j ]，表示前 j 项所构成 i 子段的最大和，且必须包含着第j项，即以第j项结尾

然后是一个递推过程。

求dp[ i ][ j ]，有两种情况

1、dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ，即把第j项融合到第 j-1 项的子段中，子段数没变

2、dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ t ] + a[ j ]，（i-1<= t < j ），把第 j 项作为单独的一个子段，然后找一下i-1个子段时，最大的和，然后加上a[ j ]

然后比较上面两种情况，取大的。

下面看图，红色数字为输入的序列：

如图，要求dp[ 3 ][ 6 ]，只需比较他左边的那个，和上面那一行圈起来的之中最大的数，

再加上a[ j ] 即为dp[ 3 ][ 6 ] 的值。

优化一下：

1、沿着第m行的最后一个元素，往左上方向画一条线，线右上方的元素是没必要计算的

那么dp[ i ][ j ] ，j++的时候，j的上限为 i + n - m 即可。

还有左下角那一半矩阵，也是不用计算的，因为1个数字不可能分为2个子段

2、每确定一个dp[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用开维数组也可以，省内存。

开两个一维数组，pre和dp，pre记录上一行，dp记录当前行

3、再对上一行红圈中的数字找最大值时，若用一个循环来找，容易超时。所以优化方法是：在每次计算dp之前，同时记录下j前面的最大元素。

时间复杂度大致为O(m*(n-m+1))，mn-m方

通过图片，分析情况1和2，就能发现，从左上角走到第 m 行的最后一个元素即可，找出第 m 行的最大值即为答案。

详见例题。

三、例题

51nod 1052

1052 最大M子段和

N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，将这N个数划分为互不相交的M个子段，并且这M个子段的和是最大的。如果M >= N个数中正数的个数，那么输出所有正数的和。

例如：-2 11 -4 13 -5 6 -2，分为2段，11 -4 13一段，6一段，和为26。

Input

第1行：2个数N和M，中间用空格分隔。N为整数的个数，M为划分为多少段。（2 <= N , M <= 5000)
第2 - N+1行：N个整数 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)

Output

输出这个最大和

Input示例

Output示例

【AC代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
ll a[N],dp[2][N];   //只保存上一行和当前行
int main()
{while(~scanf("%d%d",&n,&m))   //n个数字，m子段和 { for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",a+i);  for(int i=0;i<=n;i++)dp[0][i]=0,dp[1][i]=0;    //关键！此题答案只允许正值for(int i=1,k=1;i<=m;i++,k^=1)    //分为i段，k为两行之间的切换{dp[k][i-1]=-INF;   //i==j时，杜绝与前一元素共伍ll maxpre=-INF;    //maxpre记录上一行的最大值for(int j=i;j<=n-m+i;j++){maxpre=max(maxpre,dp[k^1][j-1]);     //随时更新上一行最大值dp[k][j]=max(dp[k][j-1],maxpre)+a[j]; //*对情况1、2的选择}}ll ans=-INF;for(int i=m;i<=n;i++)   //找到第m行的最大值，即为答案ans=max(ans,dp[m&1][i]);printf("%lld\n",ans);}
}

HDU 1024 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

数据量比51nod的这个题大，一百万。上面的代码，把n和m互换就可以过HDU1024