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上节回顾
集论
拓扑空间

上一期我们对拓扑有了定性的理解，并对集论进行了学习，这一期我们继续集论的学习并介绍拓扑空间的概念。

上节回顾

重点：R^n 这个概念非常重要。我们所在的四位空间可以理解为R^4。自然坐标这个概念也要理解。从自然坐标可以引出距离和映射的概念。

集论

注释：
在R^2空间中，上述定义式就是二维实平面的距离。

注释：
函数的本质就是map。y=ax_1+bx_2，本质上是R^2映射到R1，是一个二元函数。如果有cy_1+dy_2=ax_1+bx_2，本质上是从R^2映射到R2，给出了两个二元函数。定义5中说map需要X的每个元素指定Y的唯一对应元素，如果有两个x_i,x_j对应着同一个y也是允许的。

注释：
one-to-one，就是一一映射，onto就是全覆盖。最强的条件，是ono-to-one且onto，此时是{x_1,x_2}分别对应{y_1,y_2}。one-to-one且onto的条件在后续定义时会有作用。注5中的2可以理解为，f^(-1):f(-1)[Y]=f[X]->X 。当多个x对应同一个y时，你再求逆像就会一个y对应多个x，也就是逆像的像（多个x）是个集合（即文中所说的“是X的子集而不是X的元素”）。

注释：
常值映射就是ax_1+bx_2=常数。复合映射是先执行里面的f再执行外面的g。复合映射的潜在约束是Y既能做X的值域也能做Z的定义域。

注释：
在这里我们第一次遇到了“拓扑空间”这一词。梁老师是正着解释拓扑空间的，我试着倒着说一遍以加深理解。拓扑空间是一个抽象的东西，是没有办法画出来的，它是一个“装备了”开子集的集合，所以其本质是个集合，只是这个集合我们人类给它“指定了”一个开子集，所以这是一个特殊的集合了，这个特殊的集合变成了拓扑空间。所以你可以估计到，这个空间的“边界”就是这个集合的“边界”，而且因为是“指定”的开子集，所以同一个集合，我用不同的指定方式，可以定义出不同的拓扑空间。那么什么是“开子集”，就是开区间与空集的并集。我们可以说不是“闭区间”就是“开区间”或“空集”吗？不能，还要考虑“半开半闭区间”，这也是梁老师在图1-2-c里给的例子。通过半开半闭区间这个特例，我们可以推到函数的连续。所以这里你可以看到，有一条隐藏的线把拓扑、集合、连续等概念联系在一起了。到此集论初步这一节我们学完了，下一节介绍拓扑空间。

拓扑空间

注释：
这里开始就比较绕了，建议多读几遍，读的时候要注意“区间”不是“集合”，“开区间”不是“开子集”，很多个区间才组成集合。这里出现了三个关键词，“拓扑空间”，“拓扑结构”和“拓扑”。拓扑空间上一段已经解释过了。拓扑结构是一种定义，拓扑是集合的集合。

具体解释，我们下期再见。

参考书目：

《微分几何入门与广义相对论》第二版梁灿彬周彬科学出版社

图源/谷歌图片

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