前言

想要读懂这篇文章，首先需要搞懂标题中出现的两个专有名词——黎曼几何和EEG脑电信号。这是一期关于脑机接口的连载文章，带大家认识新一代的脑机接口BCI。

一、黎曼几何

黎曼几何由德国数学家波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）创立，他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

▲黎曼照片

相信许多人同我一样，对黎曼几何比较陌生，但绝大多数人一定听过爱因斯坦和他提出的相对论。那么我要说的是，黎曼几何正是为后来的爱因斯坦的相对论提供了数学基础。

说起黎曼几何，这背后也有一个有趣的故事。（数学专业的童鞋请跳过）
我相信凡是接受过九年义务教育的同学都了解数学家“欧几里得”提出的“欧氏几何”中的“5条公理”，内容是这么说的：

过相异的两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
线段(有限直线)可以任意地延长。
以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
凡是直角都相等(角公理)。
两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线则会在该侧相交。

前4条公理不是今天的重点，今天我们重点来看看第5条公理。

第5条公理又可以等价为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，简称为平行公理。

后来出现了一个叫“罗巴切夫斯基”的人想要通过证明推翻这一条公理，这一推就一发不可收拾了，推理出来的内容越来越多，逐渐形成了一种独立于欧氏几何的一种几何公理系统，这就是罗氏几何！罗氏几何中提出的“双曲平行公理”代替了欧氏几何中的平行公理，即过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行。

我们可以总结一下平行公理和双曲平行公理的差别，平行公理认为过直线外一点只能画出一条平行线，而双曲平行公理认为过直线外一点可以画出多条平行线。所以差别就是：一和多。那么问题来了，除了一条和多条之外，还有没有其他可能呢？

……

对！没错，还有0条的可能性！

（想到这个答案的同学，恭喜你，你有和大名鼎鼎的数学家一样的智商和思维，哈哈~）

数学家黎曼也是这样想的，他通过不懈地努力，最终推理出许多内容，这些内容被归纳为黎曼几何！黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。也就是说，在黎曼几何学中不承认平行线的存在。黎曼几何的另一条公设是说：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。

这就是黎曼几何的由来，数学真是一个很玄的东西~

二、EEG脑电信号

大多数小伙伴们可能听说过EEG。

EEG（Electroencephalogram）是通过精密的电子仪器，从头皮上将脑部的自发性生物电位加以放大记录而获得的图形，是通过电极记录下来的脑细胞群的自发性、节律性电活动。

▲被试佩戴脑电设备

脑电信号中包含了大量的生理与疾病信息。

在临床医学方面，脑电信号处理不仅可为某些脑疾病提供诊断依据，而且还为某些脑疾病提供了有效的治疗手段。

在工程应用方面，人们也尝试利用脑电信号实现脑机接口（BCI），利用人对不同的感觉、运动或认知活动的脑电的不同，通过对脑电信号的有效的提取和分类达到某种控制目的。

但由于脑电信号是非平稳的随机信号,而且其背景噪声也很强,因此脑电信号的分析和处理一直是非常吸引人但又是具有相当难度的研究课题。

▲普通的EEG脑电信号

自 1932 年 Dietch 首先用傅立叶变换进行了 EEG分析之后，在脑电分析中相继引入了频域分析、时域分析等脑电图分析的经典方法。近年来，在脑电图分析中应用了小波分析、匹配跟踪方法、神经网络分析、混沌分析等方法以及各种分析方法的有机结合 ,有力地推动了脑电信号分析方法的发展。

后面将介绍马可·康盖多（Marco Congedo）等人提出的利用黎曼几何分析EEG脑电信号。

本文内容欢迎各位留言，批评指正。

欲知后事如何，请关注我们的公众号（行为基因组学和脑机接口）~

参考文献

Alaux, C., Sinha, S., Hasadsri, L., Hunt, G. J., Guzmán-Novoa, E., DeGrandi-Hoffman, G., & Robinson, G. E. (2009). Honey bee aggression supports a link between gene regulation and behavioral evolution. Proceedings of the National Academy of Sciences, 106(36), 15400-15405.

参考链接
https://baike.baidu.com/item/%E7%BD%97%E5%B7%B4%E5%88%87%E5%A4%AB%E6%96%AF%E5%9F%BA%E5%87%A0%E4%BD%95/5773363?fromtitle=%E7%BD%97%E6%B0%8F%E5%87%A0%E4%BD%95&fromid=7474583&fr=aladdin.

https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%A2%E6%81%A9%E5%93%88%E5%BE%B7%C2%B7%E9%BB%8E%E6%9B%BC/1693983?fromtitle=%E9%BB%8E%E6%9B%BC&fromid=346114&fr=aladdin.

https://blog.csdn.net/youzi12345678/article/details/89321276.

图源/百度图片，谷歌图片

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