威沙特分布和逆威沙特分布（Wishart 分布及逆 Wishart 分布）

2024-04-27 08:34:53

Wishart 分布

Wishart 分布是用来描述多元正态分布样本的协方差矩阵的。Wishart 分布的随机变量是一个随机矩阵。

定义

假设XXX是一个n∗pn*pn∗p的矩阵，其中，每一行XiX_{i}Xi服从多元正态分布：
Xi∽Np(0,Σ)X_{i} \backsim N_{p}(0,\Sigma)Xi∽Np(0,Σ)
也就是每一个样本XiX_{i}Xi服从ppp维的正太分布。
令
A=∑iXiTXiA = \sum_{i}X_{i}^TX_{i}A=i∑XiTXi
则随机矩阵AAA（p∗p维p*p维p∗p维）就是wishart分布的随机变量。
AAA也常被称作是散度矩阵：
A∽Wp(n,Σ)A \backsim W_{p}(n, \Sigma)A∽Wp(n,Σ)
nnn是自由度。

逆Wishart分布

如果一个正定矩阵BBB的逆矩阵B−1∽Wp(n,Σ)B^{-1} \backsim W_{p}(n, \Sigma)B−1∽Wp(n,Σ)，那么称B∽Wp−1(n,Σ)B \backsim W_{p}^{-1}(n, \Sigma)B∽Wp−1(n,Σ)

Inverse-Wishart分布常作为Bayes中多元正态分布的协方差阵的共轭先验分布

假设X∈Rn∗p，Xi∽Np(0,Σ)，Σ∽Wp−1(m,Ω)X \in R^{n*p}， X_{i} \backsim N_{p}(0, \Sigma)， \Sigma \backsim W_{p}^{-1}(m, \Omega)X∈Rn∗p，Xi∽Np(0,Σ)，Σ∽Wp−1(m,Ω)
那么Σ\SigmaΣ后验分布：
Σ∣data∽Wp−1(m+n,A+Ω)，A=∑iXiTXi=nS\Sigma|data \backsim W_{p}^{-1}(m+n, A+\Omega)，A = \sum_{i}X_{i}^{T}X_{i}=nSΣ∣data∽Wp−1(m+n,A+Ω)，A=i∑XiTXi=nS

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