Gamma分布和逆Gamma分布

Gamma分布
- Gamma function
- 参数
- 图形
- - Probability density function
  - Cumulative distribution function
  - parameters
Inv-Gamma分布
- 图形
- - Probability density function
  - Cumulative distribution function
  - parameters
Gamma分布与逆Gamma分布
图像python代码 [^1]
- Gamma 分布
- 逆Gamma分布

Gamma分布

If nnn is a positive integer,
Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n)=(n-1)!Γ(n)=(n−1)!
The gamma function is defined for all complex numbers except the non-positive integers. For complex numbers with a positive real part, it is defined via a convergent improper integral:
（伽马函数是为除非正整数之外的所有复数定义的。对于具有正实部的复数，它通过收敛的不正确积分来定义：）
Γ(z)=∫0∞xz−1e−xdx\Gamma(z)= \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx Γ(z)=∫0∞xz−1e−xdx

Gamma function

参数

参数α\alphaα，成为形状参数（shape parameter)，决定了分布曲线的形状，也就是α\alphaα不同，分布曲线形状不同
参数β\betaβ成为尺度参数（scale parameter），在其他参数一定时，β\betaβ不同，分布曲线的形状相似，但是高低、胖瘦不同，或者说是同一形状按照比例放大或缩小

图形

Probability density function

Cumulative distribution function

parameters

Inv-Gamma分布

在通常情况下，同一物理量的多次测量数据都看成服从正态分布
N(μ,σ2)\N(\mu,\sigma^2)\ N(μ,σ2)
而当正态分布总体的均值μ\muμ已知时，其样本方差σ2\sigma^2σ2服从逆Gamma分布
IG(σ2;α,β)IG(\sigma^2;\alpha,\beta)IG(σ2;α,β)
其中α\alphaα，β\betaβ为待求参数。由于逆Gamma分布具有共轭性，在使用Bayes统计决策方法时，其先验和后验分布密度具有相同的分布密度函数形式IG(σ2;α,β)IG(\sigma^2;\alpha,\beta)IG(σ2;α,β)，因其使用方便，应用较广，尤其在测量数据的精度（方差）评估中使用的更加频繁。

图形

Probability density function

Cumulative distribution function

parameters

Gamma分布与逆Gamma分布

若随机变量XGa(α,λ)\ X~Ga(\alpha,\lambda) X Ga(α,λ)，则 1XIG(α,λ)\frac{1}{X}~IG(\alpha,\lambda)X1 IG(α,λ)

图像python代码 ¹

^{Gamma 分布}

^{import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as st
fig=plt.figure(figsize=(18,6))#确定绘图区域尺寸
ax1=fig.add_subplot(1,2,1)#将绘图区域分成左右两块
ax2=fig.add_subplot(1,2,2)
x=np.arange(0.01,15,0.01)#生成数列z1=st.gamma.pdf(x,0.9,scale=2)#gamma(0.9,2)密度函数对应值
z2=st.gamma.pdf(x,1,scale=2)
z3=st.gamma.pdf(x,2,scale=2)
ax1.plot(x,z1,label="a<1")
ax1.plot(x,z2,label="a=1")
ax1.plot(x,z3,label="a>1")
ax1.legend(loc='best')
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('p(x)')
ax1.set_title("Gamma Distribution lamda=2")y1=st.gamma.pdf(x,1.5,scale=2)#gamma(1.5,2)密度函数对应值
y2=st.gamma.pdf(x,2,scale=2)
y3=st.gamma.pdf(x,2.5,scale=2)
y4=st.gamma.pdf(x,3,scale=2)
ax2.plot(x,y1,label="a=1.5")
ax2.plot(x,y2,label="a=2")
ax2.plot(x,y3,label="a=2.5")
ax2.plot(x,y4,label="a=3")
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('p(x)')
ax2.set_title("Gamma Distribution lamda=2")
ax2.legend(loc="best")plt.show()}

^{逆Gamma分布}

^{from scipy.stats import invgamma
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots(1, 1)
a=[4,5,6]
for i in a:mean, var, skew, kurt = invgamma.stats(i,scale=2,moments='mvsk')x = np.linspace(invgamma.ppf(0.01,i,scale=2),invgamma.ppf(0.99,i,scale=2), 100)#invgamma.ppfax.plot(x, invgamma.pdf(x,i,scale=2,), label="a="+str(i))ax.legend(loc="best")
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('p(x)')
ax.set_title("Invgamma Distribution lamda=2")
plt.show()}

^{https://blog.csdn.net/weixin_41875052/article/details/79843374 ↩︎}