数论 · 幂函数求导

前言

TC 讲课笔记。

正文

定义一个幂函数：f(x)=a1xb1+a2xb2+⋯+anxbn+Cf(x)=a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2} + \cdots + a_nx^{b_n} +Cf(x)=a1xb1+a2xb2+⋯+anxbn+C。（CCC 为常数。）

导数：反映一个函数的变化快慢。

对于一个一次函数：

f(x)=kx+bf(x)=kx+bf(x)=kx+b，那么它的导数就是 kkk——kkk 反应了这条直线上的点的变化快慢，kkk 越大，yyy 值的变化越大。
对于一个二次函数：

由一次函数求导可知，对于我们要求导的、在二次函数上的点 A(x0,y0)A(x_0,y_0)A(x0,y0)，我们寻找一个点 B(x,y)B(x, y)B(x,y)，使 xxx 无限接近 x0x_0x0，再套用一次函数中的方法，就可以得到点 AAA 的导数：k(x0,y0)=lim⁡x→x0y−y0x−x0k(x_0,y_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{y-y_0}{x-x_0}k(x0,y0)=x→x0limx−x0y−y0。
对于幂函数：

直接记结论：对于一个幂函数 f(x)=a1xb1+a2xb2+⋯+anxbn+Cf(x)=a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2} + \cdots + a_nx^{b_n} +Cf(x)=a1xb1+a2xb2+⋯+anxbn+C，其导数为 f′(x)=a1b1xb1−1+a2b2xb2−1+⋯+anbnxbn−1f'(x) = a_1b_1x^{b_1-1} + a_2b_2x^{b_2-1} + \cdots + a_nb_nx^{b_n-1}f′(x)=a1b1xb1−1+a2b2xb2−1+⋯+anbnxbn−1。

注意 f′(x)f'(x)f′(x) 非积性函数。

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