前言

这篇文章介绍了欧拉环游的定义判定，Fleury算法求欧拉图中的欧拉环游，最后给出了中国邮递员问题的解决步骤。

欧拉环游

所谓欧拉环游就是指在一个无向图中，从一个点出发，每条边恰好走一次并且能够回到原点的路径。举个例子,下图中路径ABCD就是一个欧拉环游。这种包含了欧拉环游的图叫欧拉图。

图1 一个欧拉图

那么，给定一个图，我们应该怎么判定它是否是欧拉图呢？很简单。
非空连接图G是欧拉图⇔所有顶点的度为偶数\color{red}非空连接图G是欧拉图\Leftrightarrow所有顶点的度为偶数非空连接图G是欧拉图⇔所有顶点的度为偶数。这里不作证明。

Fleury算法

那么给定一个欧拉图，我们应该如何求欧拉环游呢？这里有一种Fleury算法，可以求解。Fleury算法很简单，简单概括就是过河拆桥，尽量不走独木桥

算法流程:

任取一个顶点v0v_0v0，令w0=v0w_0 = v_0w0=v0

路wi=v0e1v1...eiviw_i = v_0e_1v_1...e_iv_iwi=v0e1v1...eivi已经确定，在图中拆除路中出现的边，选择一条边ei+1e_{i+1}ei+1使得
- 边ei+1和vi边e_{i+1}和v_i边ei+1和vi相连
- 除非无奈，否则不要图的割边eie_iei（除去这条边后图会变成两个不连通的图）

如果选不出ei+1e_{i+1}ei+1，结束。否则得到路wi+1=v0e1v1...eiviwi+1vi+1w_{i+1 }= v_0e_1v_1...e_iv_iw_{i+1}v_{i+1}wi+1=v0e1v1...eiviwi+1vi+1，ei+1e_{i+1}ei+1连接viv_ivi和vi+1v_{i+1}vi+1，转到2。

算法复杂度：
设顶点个数为vvv，边数为ϵ\epsilonϵ，那么算法复杂度为O(v2ϵ)O(v^2\epsilon)O(v2ϵ)遍历每条边，并且判断这条边是否为割边，判断一条边是否为割边复杂度为O(v2)O(v^2)O(v2)，所以该算法的算法复杂度为O(v2ϵ)O(v^2\epsilon)O(v2ϵ)

算法图解:

图2 算法图解

中国邮递员问题

讲了半天欧拉环游，接下来我们讲讲它的使用例子。我国数学家管梅谷中国邮递员问题（Chinese postman problem, cpp）。一个邮递员从邮局出发，走完所有他所管辖街道各一次，最后返回邮局，如何选择一条最短路线。这是个求最优环游问题（遍历所有边回到原点并且边权重和最小），我们可以把这个问题转换为欧拉环游问题。

假如图G是欧拉图，那么图G任意欧拉环游都是最优环游
假如图G不是欧拉图，则某些边必须被多次经过。我们可以将这条边多复制几条，变成多重边。这样中国邮递员就与下面问题等价。

添加重复边，从原来的图中生成欧拉图，并且使得添加的边权重和最小。
求欧拉环游。

管梅谷证明，一条边最多被重复走两次。

这里直接给出求解中国邮递员问题的步骤:

找出图GGG中邻接边为奇数的顶点，将这些邻接边为奇数顶点两两配对，将连通两者的路径上面的边都改为加上一条重复边。
若某对结点间有多于两条边连接，则去掉其中偶数条边，留下一条或两条边连接这两个结点，直到每对相邻结点至多由2条边连接。
检查每个圈CCC，若某个圈CCC上重复边集EEE的权和超过这个圈的权和的一半，则将CCC中原来的重复边去除，将原来的没有重复边的边加上重复边，直到所有的圈其重复边的权和不超过此圈权和的一半
用Fleury算法求欧拉回路。

参考视频
算法图解

图3 中国邮递员算法图解

欧拉环游和中国邮递员问题相关推荐

欧拉路径（欧拉环游、欧拉回路）
一个流行的游戏是用铅笔画这些图,但是图中的每一条边都只能被画一次,在画图过程中铅笔不能离开纸面.难度更高的问题是,不光要一笔画完图,并且起点和终点还要落在同一处.如果我们将上面的三个图形都看作图数据结 ...
Fleury算法找欧拉环游
算法思路任意选择一个顶点v0v0v_0, 假设已经确定好了前面的路径了.在剩下的边中选一个新的边这个新的边需要跟它前面的那个点要相关联除非没有点可以选,否则不能是剩余子图的割边. 一直到等这个步 ...
fleury求欧拉环游算法 matlab,Fleury算法求欧拉路径
分析: 小Ho:这种简单的谜题就交给我吧! 小Hi:真的没问题么? <10分钟过去> 小Ho:啊啊啊啊啊!搞不定啊!!!骨牌数量一多就乱了. 小Hi:哎,我就知道你会遇到问题. 小Ho:小 ...
poj2154-color-polyan次二面体+欧拉函数优化
N<=1e9,O(nlogn)的做法会超时.从枚举置换转变为枚举轮换长度,然后可以利用欧拉函数,把复杂度变为O(√n * logn) 1 /*-------------------------- ...
BZOJ 2818 Gcd 线性欧拉筛（Eratosthenes银幕）
标题效果:定整N(N <= 1e7),乞讨1<=x,y<=N和Gcd(x,y)素数的数(x,y)有多少.. 思考:推,. 建立gcd(x,y) = p,然后,x / p与y / p互 ...
hdu 1286( 欧拉函数）
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1286 数学题真的是有点吃不消了... View Code 1 #include<iostream ...
欧拉、欧几里得、笛卡尔都没能解决的数学问题，他探索了新的方案
萧箫发自凹非寺量子位报道 | 公众号 QbitAI 欧拉.欧几里得.笛卡尔.尼科马修斯都没能解决的千年数学问题,还有破解的可能吗? 还真有可能. 最近,一位名为佩斯·尼尔森 (Pace Nie ...
费马定理中值定理_数论-欧拉函数、欧拉定理
欧拉函数积性函数满足 ( 互质) 定义对于正整数 ,欧拉函数是小于等于的所有数中与互质的数的个数. 欧拉函数是积性函数(这个证明不是很显然,这个链接里面有很多种证明方法) 记作: 公式 , ...
poj2154(Polya+欧拉函数优化模版）
#include <cstdio> #include <cstring> #include<iostream> using namespace std; const ...
欧拉筛筛法求素数及其例题时间复杂度O(n)
埃式筛法尽管不错,但是确实做了许多无用功,某个数可能会被重复的筛好几次,欧拉筛解决了这个方法,下面为代码: 注意理解if(i%prim[j]==0) break; 大佬讲的不错的博客,我就不做复读机了 ...

欧拉环游和中国邮递员问题

文章目录

前言

欧拉环游

Fleury算法

中国邮递员问题

欧拉环游和中国邮递员问题相关推荐

最新文章

热门文章