清北学堂noip2018集训D3

高精度算法

大数的存储
- 思路大概就是把数以字符串的形式读入，然后将它们一位一位倒叙存进一个整形数组。
高精度加法
- 把每一位相加，若有进位就将下一位加一。
高精度乘法
与高精度加法类似。
示例代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s1,s2;
int input(string &s,int a[],int &len){cin>>s;len=s.length();for(int i=0;i<len;i++){a[i]=s[len-i-1]-'0';}return len;
}
int plus_(int a[],int b[],int lena,int lenb,int c[]){//O(n)int lenc=0;while(lenc<lena||lenc<lenb){c[lenc]=a[lenc]+b[lenc];if(c[lenc]>=10){c[lenc]-=10;c[lenc+1]++;}lenc++;}if(c[lenc]==0){lenc--;}return lenc;
}
int time_(int a[],int b[],int lena,int lenb,int c[]){//O(n^2)int lenc;for(int i=0;i<lenb;i++){for(int j=0;j<lena;j++){c[i+j]+=a[j]*b[i];lenc=i+j;}}lenc+=20;for(int i=0;i<2000;i++){c[i+1]+=c[i]/10;c[i]%=10;}while(c[lenc]==0){lenc--;}return lenc;
}
int main(){int a[2000],lena,b[2000],lenb,c[2000],lenc;memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(a));memset(c,0,sizeof(a));input(s1,a,lena);input(s2,b,lenb);lenc=time_(a,b,lena,lenb,c);for(int i=lenc;i>=0;i--){cout<<c[i];}cout<<endl; memset(c,0,sizeof(c));lenc=plus_(a,b,lena,lenb,c);for(int i=lenc;i>=0;i--){cout<<c[i];}
}

快速幂

abmodc;a,b,c≤109a^bmodc;a,b,c\le 10^9abmodc;a,b,c≤109
代码见Day1

进制转换

从10进制转其他进制
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[100];
int tot;
int main(){int a[20000];int b=121;int tobase=2;cin>>b>>tobase;while(b>0){a[tot++]=b%tobase;b/=tobase;}for(int i=tot-1;i>=0;i--){printf("%d",a[i]);}return 0;
}

从其它进制转10进制
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[100];
int main(){int base;cin>>base;scanf("%s",s);int x=1;int num=0;int l=strlen(s);for(int i=l-1;i>=0;i--){int a = s[i]-'0';if(a>=base){cout<<"Error!";return 0;}num += a*x;x *= base;}cout<<num;return 0;
}

素数

大于一且因数只有1和它本身。
算数基本定理
- 任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1×P2a2×P3a3×......×PnanN=P_1^{a_1}\times P_2^{a_2}\times P_3^{a_3}\times ......\times P_n^{a_n}N=P1a1×P2a2×P3a3×......×Pnan，这里P1<P2<P3......<PnP_1<P_2<P_3......<P_nP1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数aia_iai是正整数。
判断一个数是不是素数

一般算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_prime(int x){for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0) return 0;}return 1;
}
int main(){int n;cin>>n;cout<<is_prime(i);return 0;
}

O(nloglogn)O(nloglogn)O(nloglogn)算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool a[100000005];
int x[100000005];
int find_prime(int n){int tot=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!a[i]){x[tot++]=i;for(int j=2;j*i<=n;j++){a[j*i]=1;}}}return tot;
}
int main(){int len=find_prime(100000);for(int i=0;i<len;i++){cout<<x[i]<<" ";}return 0;
}

gcd/lcm

gcd:最大公约数
lcm:最小公倍数
(a,b)[a,b]=ab(a,b)[a,b]=ab(a,b)[a,b]=ab

gcd

gcd(a,b)=p1min(a1,b1)×p2min(a2,b2)×...×pnmin(an,bn)gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}\times p_2^{min(a_2,b_2)}\times ...\times p_n^{min(a_n,b_n)}gcd(a,b)=p1min(a1,b1)×p2min(a2,b2)×...×pnmin(an,bn)
怎么算？
辗转相减 gcd(a,b)=gcd(b,a−b)gcd(a,b) = gcd(b,a-b)gcd(a,b)=gcd(b,a−b)
辗转相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b) = gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

代码如下：

int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);
}

lcm

lcm(a,b)=p1max(a1,b1)×p2max(a2,b2)×...×pnmax(an,bn)lcm(a,b)=p_1^{max(a_1,b_1)}\times p_2^{max(a_2,b_2)}\times ...\times p_n^{max(a_n,b_n)}lcm(a,b)=p1max(a1,b1)×p2max(a2,b2)×...×pnmax(an,bn)

代码如下：

int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);
}

示例代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);
}
int main(){cout<<gcd(3,4)<<endl;cout<<lcm(3,4);return 0;
}

裴蜀定理

gcd(a,b)=d⇒ax+by=dgcd(a,b)=d\Rightarrow ax+by=dgcd(a,b)=d⇒ax+by=d
gcd(a,b)=1⇐⇒ax+by=1gcd(a,b)=1\Leftarrow\Rightarrow ax+by=1gcd(a,b)=1⇐⇒ax+by=1

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