微积分基础之图形面积（体积）计算
微积分基础之图形面积（体积）计算
- 一、平面图形面积
- 1、简单图形的面积
- (1)长方形
- (2)三角形
- (3)平行四边形
- (4)梯形
- 2、稍微复杂一点的图形面积
- (1)圆
- 法1：
- 法2：
- 椭圆
- 立体图形表面积和体积
- 祖暅定理
- 三分之一之谜
- 球的体积
- 球的表面积
- 终极问题——甜甜圈的体积
一、平面图形面积
积分的要领1：以长方形为基础来思考\boxed{积分的要领1：以长方形为基础来思考}积分的要领1：以长方形为基础来思考
1、简单图形的面积
(1)长方形
长×\times×宽，不会的请离开
(2)三角形
底×\times×高/2，不会的请离开
(3)平行四边形
底×\times×高，不会的请离开
(4)梯形
(((上底+++下底)×)\times)×高/2，不会的请离开
2、稍微复杂一点的图形面积
积分的要领2：把图形看作小长方形的组合\boxed{积分的要领2：把图形看作小长方形的组合}积分的要领2：把图形看作小长方形的组合
(1)圆
法1：
用圆规在方格纸上画一个圆，接着数一数圆中的方格数
我在边长为1mm1mm1mm的方格纸上画了一个半径为2cm2cm2cm的圆，我算(shǔ)出圆中共有118911891189个格子，所以我们算出的圆周率是2.97252.97252.9725
虽然这个误差很大，但是，随着格子边长的缩小，我们的准确度就越高
法2：
有什么办法可以提高精度吗？有，如图，我们把圆分成细长的小条来求由于我太懒了，所以只画了3条
每一个小条的宽度是Δx\Delta xΔx，表示非常小的数值
这样，我们可以得出圆的面积=∫左端右端短条在x值对应的长度dx=\int_{左端}^{右端}短条在x值对应的长度dx=∫左端右端短条在x值对应的长度dx
dxdxdx可以理解为limΔx→0Δx\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta xΔx→0limΔx
我做了一个实验，计算半径为1cm1cm1cm的圆，把它分成NNN个小条，制成一张表格
| NNN | 所有小条的总面积 |
|---|---|
| 101010 | 2.6370492.6370492.637049 |
| 202020 | 2.9045182.9045182.904518 |
| 404040 | 3.0284653.0284653.028465 |
| 200200200 | 3.1204173.1204173.120417 |
| 200020002000 | 3.1395553.1395553.139555 |
| 200002000020000 | 3.1413913.1413913.141391 |
可见NNN越来越大时，小条的总面积就会越接近圆的面积πr2\pi r^{2}πr2
椭圆
椭圆是由圆拉伸来的，所以我们也可以把它分成细长的短条来求，这个小条的面积就是圆的小条面积的ab\frac{a}{b}ba倍，所以，椭圆的面积就是πab\pi abπab
积分的要领3：把图形分解成长方形然后进行伸缩变换\boxed{积分的要领3：把图形分解成长方形然后进行伸缩变换}积分的要领3：把图形分解成长方形然后进行伸缩变换
立体图形表面积和体积
祖暅定理
积分的要领4：把图形看作被切割后的组合\boxed{积分的要领4：把图形看作被切割后的组合}积分的要领4：把图形看作被切割后的组合
在外国称作卡瓦列利原理
截面面积总是相等的两个立体图形，体积也相等
三分之一之谜
积分的要领5：灵活应用祖暅定理\boxed{积分的要领5：灵活应用祖暅定理}积分的要领5：灵活应用祖暅定理
大家都知道圆锥的体积公式吧？体积===底面积×\times×高×13\times\frac{1}{3}×31
话说这个13\frac{1}{3}31是哪来的？
首先，我们从四棱锥说起
我们先把C点平移到A的正上方，使得AC⊥AC\perpAC⊥平面ABDABDABD（祖暅定理）
⇓\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow ⇓
这时，我们发现3个这样的椎体可以拼成一个长方形，因此，我们可以得到这个四棱锥的体积就是13×\frac{1}{3}\times31×底面积×\times×高
得到了四棱锥的体积之后，我们就可以计算任意椎体的体积了
我们把椎体的底面分成许多很小的长方形，所以每一个小四棱锥的体积相加就是椎体的体积了，也就等于13×\frac{1}{3}\times31×底面积×\times×高
球的体积
我们先做出一个立体图形，我把它称为钵体，它是一个圆柱再去掉一个圆锥后的图形
我们可以发现，它的每一个截面的面积和一个半球上的截面的面积相同，所以，根据祖暅定理，我们可以知道，球的体积=2×23πR3=×43πR3=2\times\frac{2}{3}\pi R^3=\times\frac{4}{3}\pi R^3=2×32πR3=×34πR3
积分的要领6：寻找“有效的对应、关系条件”\boxed{积分的要领6：寻找“有效的对应、关系条件”}积分的要领6：寻找“有效的对应、关系条件”
球的表面积
积分的要领7：相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更优先\boxed{积分的要领7：相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更优先}积分的要领7：相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更优先
我们把球的表面分成许多小的四棱锥，所以，我们可以得到球的体积=13×R×=\frac{1}{3}\times R\times=31×R×球的表面积
所以，我们可以得到球的表面积=4πR2=4\pi R^2=4πR2
终极问题——甜甜圈的体积
大家都知道甜甜圈吧？
我用软件画了一个甜甜圈，我们假设甜甜圈边上的圆心到中心的距离为4cm4cm4cm，半径为2cm2cm2cm，我们尝试水平切割，我们就可以得到一个个圆环
这些圆环的外圈的半径=4+4−x2=4+\sqrt{4-x^2}=4+4−x2，内圈的半径=4−4−x2=4-\sqrt{4-x^2}=4−4−x2，所以这个截面的面积=16π4−x2=16\pi\sqrt{4-x^2}=16π4−x2（xxx代表到圆心的距离）
由此，我们就可以表示出整个甜甜圈的体积就是∫−2216π4−x2dx\int_{-2}^{2}16\pi\sqrt{4-x^2}dx∫−2216π4−x2dx这个积分是在不需要我们计算，我们只要画一个图就行了
积分相当于计算这个图形的面积，所以也就是∫−2216π4−x2dx=16π×2π=32π2\int_{-2}^{2}16\pi\sqrt{4-x^2}dx=16\pi\times2\pi=32\pi^{2}∫−2216π4−x2dx=16π×2π=32π2
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微积分基础之求导
微积分之积分
参考材料：
《简单微积分》神永正博 著
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