今天我们来聊一聊线性代数中的二次型化为规范形、标准形的内容，这块知识相当重要，我看了看，几乎每一年的考研数学中都会涉及到一道关于这个知识点的题目，这次的整理，不仅帮助大家整理清楚思路，也是为自己整理清楚。

首先，是谈一谈何为二次型

二次型：n个变量的二次多项式称为二次型，就是在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。

这个定义给出后，是不是很好理解，未知数的数量随便定，到那时每一项的次数都是2。

如图所示，这就是二次型，可以看到，其中的每一项都是二次，大家有没有注意到我这里写出的二次型矩阵有点奇怪，没错，就是在第一行第二列的值为x1x2的系数一半，这里很重要，当你做题的时候，要用到这个概念之时，便得特别注意写对矩阵，否则若求出特征值和特征向量都会是错误的。

其次，我们来谈一谈标准形和规范形

标准形：如果二次型只有平方项，没有混合项(即混合项的系数全为零)，那么我们就称二次型为标准形，也叫做平方和。

规范形：在二次型的标准形中，如果平方项的系数d只是1,-1,0，就称为是二次型的规范形。

给出一道实际例题帮助理解

我们由规范形的定义可以得知：规范形是由特征值来确定的，因此我们便从特征值入手。

正交变换的概念

正交变换：是线性变换的一种，从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。

总结

总结一下，将二次型化为标准形、规范形，关键在于对基本知识的掌握，难度并不是特别大，要利用好特征值这个概念，对于二次型化为标准形而言，紧紧抓住正交变换不要放，求出特征值，标准形系数便是由特征值构成的。

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