微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）

文章目录

罗尔中值定理
- 推广的罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理

罗尔中值定理

如果函数fff满足以下条件
（i）fff 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续
（ii）fff 在开区间内可导
（iii）f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)
则在（a，b）中至少存在一点 εεε ，使得
f′(ε)=0f'(ε)=0f′(ε)=0

几何解释：
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平曲线。

三种条件缺少一个，结论将不一定成立

推广的罗尔中值定理

如果函数f(x)f(x)f(x)在开区间（a,b）可导，在区间端点处的单侧极限存在且相等，即f(a+0)=f(b−0)f(a+0)=f(b-0)f(a+0)=f(b−0)，那么在（a,b）中至少存在一点 ε(a<ε<b)ε (a<ε<b)ε(a<ε<b)，使得f(ε)=0f(ε)=0f(ε)=0

拉格朗日中值定理

如果函数 fff 满足以下条件
（i）fff 在闭区间内 [a,b][a,b][a,b]上连续
（ii）fff 在开区间内 (a,b)(a,b)(a,b) 可导
则在（a，b）中至少存在一点 εεε ，使得
f′(ε)=f(b)−f(a)b−af'(ε)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(ε)=b−af(b)−f(a)

特别是当f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)时，拉格朗日定理的结论即为拉格朗日中值定理的结论。实际上，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。

拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

f(b)−f(a)=f′(ε)(b−a)，a<ε<bf(b)-f(a)=f'(ε)(b-a)，a<ε<bf(b)−f(a)=f′(ε)(b−a)，a<ε<b

f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a)，0<θ<1(2)f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)，0<θ<1 \tag2f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a)，0<θ<1(2)

f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h，0<θ<1(3)f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h，0<θ<1\tag3f(a+h)−f(a)=f′(a+θh)h，0<θ<1(3)

拉格朗日公式无论对于 a<ba<ba<b 还是 a>ba>ba>b 都成立，εεε是介于 a,ba,ba,b 之间的一个数字

下面 2,3 两式的特点是，把中值点εεε表示成了a+θ(b−a)a+θ(b-a)a+θ(b−a)，使得无论 a,ba,ba,b 为何值，θθθ总可为小于111的某值

推论1：
如果函数 fff 在区间III上可导，且 f′(x)=0，x∈If'(x)=0，x∈If′(x)=0，x∈I，则 fff 为 III 上的一个常量函数

推论2：
若函数 fff 和 ggg 均在区间 III 上可导，且 f′(x)=g′(x)f'(x)=g'(x)f′(x)=g′(x) ，则在区间 III 上f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)只相差一个常数
f(x)=g(x)+cf(x)=g(x)+cf(x)=g(x)+c

柯西中值定理

如果函数 fff ,ggg 满足以下条件
（i）在 [a,b][a,b][a,b] 上都连续
（ii）在 (a,b)(a,b)(a,b) 上可导
（iii）f′(x)f'(x)f′(x) 和 g′(x)g'(x)g′(x) 不同时为零
（iv）g(a)≠g(b)g(a)≠g(b)g(a)=g(b)
则存在 ε∈(a,b)ε∈(a,b)ε∈(a,b)，使得
f′(ε)g′(ε)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(ε)}{g'(ε)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g′(ε)f′(ε)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)

在柯西中值定理中，取 g(x)=xg(x)=xg(x)=x 即得拉格朗日中值定理。