【第二章 数据预处理】袁博《数据挖掘：理论与算法》
目录
1 数据清洗
Outline
1、数据从哪里来？
2、为什么要做数据预处理？
3、缺失数据（Missing Data）
4、Outliers（离群点）
5、Anomaly（异常点）
2 异常值与重复数据检测
1、Local Outlier Factor（局部异常因子）
2、Duplicate Data（重复数据）
3 类型转换与采样
1、数据类型
2、类型转换
3、采样（Sampling）
4、Imbalanced Datasets（不平衡数据）
5、Over-Sampling（向上采样）
6、Boundary Sampling（边缘采样）
4 数据描述与可视化
1、标准化（Normalization）
2、数据描述（Description）
3、数据可视化（Visualization）
4、两个可视化软件
5 特征选择
1、如何评价属性好与不好？
2、熵（Entropy）
3、Feature Subset Search
6 主成分分析（PCA）
1、Feature Extraction（特征提取）
2、Principal Component Analysis（PCA，主成分分析）
7 线性判别分析（LDA）
1、LDA 和 PCA
2、LDA（Linear Discriminant Analysis，线性判别分析）
3、 可分性的度量
4、数学推导
5、LDA的例子
6、多分类问题的LDA
7、LDA的限制
8 阅读材料
1 数据清洗
数据往往是杂乱无章的，不能直接进行分析，需要预处理才能进行后续的工作
Outline
- 数据清洗（Data Cleansing）
- 数据类型转化（Data Transformation）
- 数据描述（Data Description）
- 特征选择（Feature Selection）
- 特征提取（Feature Extraction） PCA LDA
1、数据从哪里来？
金融数据（电子银行）、手机、GPS、传统的调查问卷、超市购物、健康管理（手环等）......
数据来源不同，格式也会有非常大的不同
2、为什么要做数据预处理？
真实的数据是非常 dirty 的，是数据挖掘中最大的挑战
需要借助领域知识，是数据挖掘工作的基础性工作
- 不完整（Incomplete）：问你的职业是什么，你没填
- 不正确（Noisy）：问你的工资是多少，你填了 -100
- 不一致（Inconsistent）：问你的年龄（你填了42），后面又让你填生日（你填了01/09/1985），发现年龄和生日不匹配；
或：小张的个人信息中身份证号倒数第二位是单数，性别为女 - 冗余（Redundant）：数据太多或属性太多，无法处理，或把真实有用的信息淹没了
- 其他：数据类型、数据集本身的不平衡
3、缺失数据（Missing Data）
（1）为什么会缺失？
- 设备坏了
- 未提供，如隐私数据
- Not Applicable（N/A） 不适用的
如：男女生做体检，体检项目是不同的，没填不代表缺失，而是不适用；
又如：学生小明在调查问卷中没有回答下述问题：“你去年的工资收入和前年相比是否有所增加？”
（2）缺失的类型
- 完全随机缺失：如有一阵风把试卷吹走了，100份只找回来60份，这40份的缺失是完全随机的，概率一样
- 缺失与另外的属性有关：如询问体重，缺失可能跟性别有关（女生可能不愿意回答）
- 缺失与自身取值有关：如询问收入，高收入人群或收入来源复杂的人可能不愿意填
（3）怎样处理缺失数据
具体问题具体分析
More art than science：与其说这个领域的工作是科学研究，不如说是艺术。因为没有严格的标准化流程，更多的是经验形成的结果
- 忽视或删除：缺失太多的情况下，不可以这样做
- 手工填：这个过程是十分麻烦（tedious）的，具体又可分为以下两种——
—重新采集
—领域知识（Domain Knowledge）推测：
如：问你住的房子是租的还是买的（没填），但是有另外一项问你是从什么时候开始住在这个地方的，有一个人填了18年，那么可以推测这个房子是他自己买的，而不是租的
又如：假设男生用1表示，女生用0表示，某人的性别未填，应根据其他信息（如身高、体重）推测 - 计算机自动填：固定值、均值或中位数、最可能的值
（4）例子
两堆数据（男人、女人），两个属性（身高X、体重Y）
现在来了一个新的样本，只有属性X（只知道身高，不知道体重），如何推测Y（体重）？
- 填所有样本的均值，但交叉处没有任何我们已有的样本 ×
- 填蓝色样本的均值 ×
- 填红色样本的均值交叉处的值，但再来一个相同X的未知样本，Y都一样，所以为了使结果更加逼真，加上一个高斯的概率分布，再采样，这样每次填的数都不一样
4、Outliers（离群点）
离群点（也可称之为噪点）对有些算法的影响是非常大的，如最小二乘、聚类
5、Anomaly（异常点）
与离群点（Outlier）是两个概念，不能混为一谈
2 异常值与重复数据检测
1、Local Outlier Factor（局部异常因子）
离群与否是一个相对的概念，关于离群点的判定，需要考虑相对距离因素
（1）引入distance
：O点的k近邻，如k=3，找3个离O点最近的点，如果第3个点和第4个点是一样远的，那么都算在里面，即实际的点可能＞3个。把第3个远的点画一个虚线的圆
：A和B两点之间的欧氏距离
（2）引入lrd
分母：A有多少个近邻
分子：A到每个k近邻的距离之和
若一个点离它的近邻都非常近，则分子会非常小（其实是在算平均距离），整个又分之一，则：若一个点与它周围的点都特别地紧密，那么分之一后就会非常大，即 lrd(A) 特别大。即： lrd(A) 值越大，A与自己的近邻越紧密
（3） 真正判断离群点的方式（引入LOF）：
我算算我自己的 lrd 值（我离我自己的近邻有多远），再看看我的近邻到它们的近邻有多远，做一个比值。若 lrd(B) >> lrd(A)，即我（A）的近邻（B）和它们的近邻的距离都特别近，而我（A）与我的近邻（B）又相对较远，则我（A）比较不合群
综上：LOF的值越大，是离群点的可能性越大
当给定一组样本时，对每一个样本都可以计算这样一个相对距离的概念
2、Duplicate Data（重复数据）
（1）不同数据集中可能包含同一个人的信息，但格式可能不同，例如：
- 性别：有的公司用1/0表示，有的公司用M/F表示
- 名字：有的直接写名字，有的分 FirstName 和 LastName
- ID号：有的用CID（ClientID），有的用Cno（ClientNumber）
Q：CaseA：两个人名字不同，身份证号相同 CaseB：两个人同名同姓，身份证号不同
谁为重复数据的可能性大？ A
分析：身份证号重复的概率极低（理论上为0），改名和重名重姓的情况在实际中并不罕见
（2） 如何找出其中冗余或一样的信息？ ——滑动窗口
- 窗口较小，容量为w（如100），每次向下移一位，新进来的只与前面的 w-1 进行比较（局部比较）
- 使用假设：真正高度疑似的样本是挨着的（重复记录的样本在数据库中必须是挨着的），这样才可以保证它们在一个滑动窗口当中，才可以比较
对数据库中的每一条记录生成一个键值，根据key去排序
基本原理：如果两个样本非常可能是一样的，那么生成的key要一样或差一点点，这样排完序才能保证这些记录都放在一个滑动窗口里
key如何生成？ ——不容易记错或听错的位数作为key
Q：在记录手机号码时，相对而言前 3 位不容易记错。
例子：
先看两个人的 last name（姓），两个人的姓如果一模一样，两个人的 first name（名）差一点点，他们的地址又一样，则认为这两个人对应着同一个人
为什么先比较姓？ ——这与文化背景有关。外国人中，姓更容易区分，名反而没有多少区分度
Q：在记录英语国家人名时，姓容易写错
分析：姓氏种类繁多，容易因为不熟悉写错
3 类型转换与采样
- 把缺失值填充、重复值剔除之后的数据是 error-free 的，但还是不能直接使用，还需要进行一些类型转换或采样的工作
- 在实际数据分析工作中，数据类型转换和数据自身的错误是面临的主要挑战之一
1、数据类型
- 连续型（Continuous）：数值，如身高、体重
- 离散型（Discrete）：数值，如人数
- 序数型（Ordinal）：有前后顺序，需要转换成数值，如优良中差、按ABCD打分的考试成绩数据
- 标称型（Nominal）：最麻烦的一种，如职业—老师、工人、销售员等等，颜色—RGB等等，少数民族—56个民族
- 文本型（String）：非结构化，字符串，如朋友圈、日志等
2、类型转换
（1）RGB三种颜色，如何编码？
若编码为012，暗含了绿色与红色的距离<蓝色与红色的距离（在空间中施加了距离度量），这是没有道理的
（2）水果有三种颜色、不同的大小，○和x分别代表一种水果，现在要把二者分开
分界面为两条类似抛物线的曲线
数据不动，只调整编码方式（绿色和蓝色对调一下），此时分界面为两条直线，简化了问题
这个例子说明：不同的编码会造成问题结构的不同，或数据在空间的分布不同，可能使问题简化或复杂
（3）RGB到底如何编码？
四种颜色，拆成四位，任何两种颜色的小球之间的距离都是一样的（等间距空间）
即拆成维度更高的表达形式，显然只适用于少量的颜色，否则维度无法处理
（4）在对标称型数据（如颜色、职业等）进行编码时：
- 类别较少时，可考虑采用扩维法
- 不同编码可能会影响数据的空间分布
3、采样（Sampling）
- 采样的目的是降低时间复杂度
- 大数据中的采样是因为数据太多，无法处理；统计学中的采样是因为数据的采集过程十分昂贵
- 采样还有一个作用是调整类的比例，对原始数据集进行调整，使比例接近1:1，再进行分类算法
- 在大数据分析中，利用采样技术可以：减少需要处理的数据量，有助于处理不平衡数据，提高数据的稳定性
为了减少数据，还有很多种方法，如 Aggregation（根据需要将数据进行聚集，不需要知道最底层的数据，可以大大减少数据量，数据也可以更加平稳），举 2 个例子：
- 每打一个电话，都会记录几分几秒开始，到几分几秒结束，打给谁。但是有时不需要记录如此详尽的信息，只需知道这个客户在某一天打了多少个长途电话，多少个市内电话；或只需知道每个月打了多少话费，或变化规律就行了
- 记录每一个分店的营业额 —> 记录地区（如华南区）的营业额
4、Imbalanced Datasets（不平衡数据）
100个人中只有1个人生病，分类器：无论谁来都判定为健康，准确率为99%，但它是无意义的
- 红和蓝代表两类问题（一维分类），分界面为一根线，线的右手边（RHS）判定为蓝色，左手边（LHS）判定为红色
- 对于A分类器来说，判定所有的样本为蓝色，准确率为95%；B分类器右边全分对，但左边有10%的蓝色被误判了，所以准确率为90%
- 准确率来看A好，但实际效果好的是B
对于极度不平衡的二分类数据集，应特别注意少数类样本的准确率
整体准确率的概念不适用于不平衡数据集（两类数据集差别特别大），应采用新的度量模式：
（1）G-mean：取值0~1之间，要单独看正类准确率和负类准确率，但要G-mean值高，必须在两类上都分的对才可以
（2）F-measure：在信息检索中常用
- Precision（准确率）：搜关键词，返回100篇文章，有多少是真正需要的
- Recall（召回率）：事实上有多少篇文章与关键词相关，但只返回了多少篇
5、Over-Sampling（向上采样）
数据集中红色远远多于蓝色，怎么办？
- 蓝色多采样一些，类似于克隆（多复制），但不是完全克隆（无意义）
- 一个蓝色点（样本数较少的点），找它的近邻点，在区域中随机生成，类似插值的方法
SMOTE的工作原理是：对少数类样本通过插值进行上采样
6、Boundary Sampling（边缘采样）
只有最外面这层点（边缘点）最有价值，如何找出边缘点？
- 密度：边缘点一面比较密，一面比较稀
- 法向量
4 数据描述与可视化
1、标准化（Normalization）
在计算机中，数据本身是无单位的，如身高可以是1.7、170、1700等，需要进行标准化
几种标准化的操作：
（1）把原始数据映射到 [0,1] 区间
适用于有明确上下界的数据
如：做了一个收入的调研，人群中最低收入12000，最高收入98000，这是一个区间。想把这个区间当中所有的收入都映射到 0和1 之间，如何映射？
（2）Z-score：计算点偏离均值（μ）多少个 standard deviation（标准方差σ）
高斯分布偏离 3个 standard deviation 以外的点就已经很少了，可以看做离群点
数据无明确上下界，可以无限延伸，如高斯
2、数据描述（Description）
（1）一般性描述（统计信息）：
- 均值（Mean）：容易受极端值影响
Q：很多人感觉到自己的收入与官方公布的平均收入相去甚远，最有可能的解释是：个体收入分布极度不均衡
分析：人群的收入分布通常具有长尾特点，因此其均值容易被少数高收入者拉高，显著偏离样本的中位数，不具有代表性 - 中位数（Median）
- 众数（Mode）：频率最高的数，有可能与均值或中位数重合，如正态分布时三者重合
- 方差（Variance）
（2）相关性：
皮尔逊相关系数
- r>0：A和B正相关，如个子越高，体重越高
- r<0：A和B负相关，如随着年龄越大，身体状况越来越差
- r=0：A和B之间没有线性相关，即线性不相关，不是A和B不相关
皮尔逊卡方检验
例子：一个人喜不喜欢下国际象棋，与他喜不喜欢科技小说有无关系
- 找了1500个人，其中300个人下象棋，1200个人不下象棋，其中250个人又下象棋又喜欢科幻小说（其他三个数以此类推）
- 如果下象棋与喜欢科幻小说没有关系，下象棋的人跟不下象棋的人是1:4，那在喜欢科技小说那一行的两个数，也应该是1:4，一共是450，则分别为90和360
- 即假设不相关是红色的数据（Expected），但实际是蓝色的数据（Observed）
- 求出的卡方值很大，结果判断两者不是独立的，是有相关性的
3、数据可视化（Visualization）
可视化不仅可以很好地展示结果，也可以帮助人们思考数据中蕴含的模式、要做怎样的数据挖掘。数据可视化工作贯穿数据挖掘工作全过程，从最初数据简单的分析处理的可视化，到数据挖掘过程的可视化，到结果的可视化，每一步都发挥着重要的作用
（1）一维：MATLAB 或 Excel
- 圆饼图：中国收入的不同档次有多少人（百分比）
- 曲线图：股票价格随着时间波动
- 直方图：人的平均寿命或身高的分布
（2）二维：MATLAB
汽车的排量和汽车0-60英里的加速时间之间的关系
（3）三维：MATLAB
z = f(x,y)
（4）高维：MATLAB
将高维数据以某种形式做转换或映射
- Box Plots 是 MATLAB 中的一个函数，把维数依次排开，每一维度用盒子来展示数据的分布，盒子的上沿为25%，中间的红线为50%（中位数），下沿为75%。盒子外的红色为Outliers。可以看出，数据在某些维度上偏大，某些维度偏小；盒子越窄，说明数据分布越紧密
Q：在 Box Plots 中，一个盒子越扁，说明在该维度上，25%-75%之间的数据分布越为集中
缺点：丧失了数据各个维度之间的关联，即看不到某个点在下一个维度上的值。即完全割裂开，一维一维单独地可视化
- 平行坐标（Parallel Coordinates）：相对来说最简单、但却直观有效的一种高维可视化的方法。每一个维度用一根竖线来表示（即一个个轴），每一个高维样本点用一个红色的折线来表示，它和每一个数轴的交点代表了该数据点在这个特定维度的取值
有些属性是离散的，明显地聚集在若干个点位
缺点：数据太多，图被线覆盖，看不清
4、两个可视化软件
（1）Citespace：可视化的是文本（文献可视化），研究一个领域研究热点的变化、最近都在研究什么问题、过去十年中哪些文章经常被人引用等等
（2）Gephi：把各个元素之间的相互关系用网络图展示，例如社交网络
5 特征选择
现实生活中可能有很多的属性，但一些属性可能是不相关的，或重复的（如 Address 和 Location），而且属性太多会造成空间维度太大、问题难度太大，因此需要特征选择（Feature Selection）挑出最相关的属性，降低问题难度
Q：进行属性选择的原因是：属性可能存在冗余、属性可能存在噪声、降低问题复杂度
1、如何评价属性好与不好？
（1）属性的区分度：理论上，一个属性最好能够100%区分两类目标，但实际上很难做到，都会存在 overlapping 的区域
（2）离散型：
- 所有人（Total）：50%男人，50%女人
知道一个属性：这个人抽烟还是不抽烟
- 不抽烟（Non-Smoker 60%）：80%女人，20%男人
- 抽烟（Smoker 40%）：95%男人，5%女人
知道属性之后，对于这个人是男人还是女人的判断，会更加有自信
如何量化属性的区分度？ ——熵
2、熵（Entropy）
衡量系统的不确定性，即：关于一个变量的值取多少，有多大的 confidence
- 熵的最大值为1，即最不确定的情况，发生在概率为0.5时（50%可能性男人，50%可能性女人）
- 概率为0或1的时候，熵是最小的（不确定性最低）
0.2864 < 0.7219 说明：在烟民中，性别的分布更加不平衡，即如果知道一个人抽烟，对这个人是男还是女的判断会更加准确
原来的不确定性与现在的不确定性的差值：信息增益（Information Gain）
- 含义：当你知道一个额外属性时，你对这个系统的不确定性能降低多少（简单可以理解为属性的价值）
- 信息增益越大，说明属性的效能越高（信息增益越大越好）
- 决策树中会用到
Q：假设某数据集的原始熵值为0.7，已知某属性的信息增益为0.2，那么利用该属性进行划分后数据集的熵值为0.5
3、Feature Subset Search
有100个属性，只想用5个，如何找到最优的5个属性的属性组？
（1）排列组合（Exhaustive Search）：组合爆炸
（2）分支定界（Branch and Bound）
- 树状搜索算法
- 依赖属性的单调性假设
例：有5个属性12345，想找到最优的两元组
- 做一个单调性的假设，J 代表属性的某一种效能（评估这组属性好不好）
- 有了这个假设之后，不需要再遍历整棵树
剪枝，简化搜索空间，可以找到最优解（不是近似解或启发式的解）
（3）近似解
以下方法都不能保证全局最优，都是一种简单的贪婪算法
- Top K Individual Features：一个一个找，最好的K个组成一个K元组（但最优秀的属性组在一起，不一定是最优秀的 subset，因为属性可能是重复的或有相关性的）
- Sequential Forward Selection：已知2个最好的，剩下的一个个找出3个最好的，逐渐扩张
- Sequential Backward Selection：10个每次删1个，9个里查出最好的，作为新的出发点，再找8个最好的，以此类推
- 优化算法（Optimization Algorithms）：
模拟退火（Simulated Annealing）
禁忌搜索（Tabu Search）
遗传算法（Genetic Algorithm）
Q：以下方法中可以确保获得最优属性子集的是
- Top K Individual Features
- Sequential Forward Selection
- Sequential Backward Selection
- Simulated Annealing
- Exhaustive Search
6 主成分分析（PCA）
1、Feature Extraction（特征提取）
与 Feature Selection（特征选择）的不同之处：
- 特征选择：n个属性中选出m个
- 特征提取：对原始属性作变换，不同属性间作线性组合（包含特征选择）
2、Principal Component Analysis（PCA，主成分分析）
平面图中的老鹰能够被人们识别的原因是：观察角度合适
3维映射到2维，丢失了很多信息，但是关键的属性都被保留下来了
不同映射方法信息损失不同，有效信息的保留也不同
（1）2维例子：
假设数据是高斯分布的
情况1：长短轴与坐标轴平行
沿着某一属性分布地比较开，其 Variance 比较大，就说明这个属性所体现的信息量比较大，即这个属性越重要（Variance=Information）
在PCA变换中，应尽量把数据向数据散布大的方向投影
所以把数据沿着长轴去投影，变成一维的
情况2：X1与X2有协方差存在
总结：PCA就是在做一个坐标的旋转，使得旋转以后，在新的坐标轴下，去掉数据之间的correlation，需要的旋转矩阵P就是Q的一个转置
另一个角度推导PCA：
基本思想：想把高维空间中的点投影到线上，若所有的点都能排到一根线上，相当于降维
如何计算？ —— 拉格朗日乘数法（适用于带条件的约束问题）
例：
用拉格朗日乘数法求解上述问题：
PCA做的就是把原始数据投影到特征向量（对应特征值最大的那些特征向量）上
例1：
例2：
Q：PCA变换中不包含以下哪一种操作？
- 去均值
- 矩阵特征值分解
- 属性值标准化
- 坐标变换
Q：假设样本数大于维数，利用PCA技术，可以把N维数据降为1~N-1维
7 线性判别分析（LDA）
1、LDA 和 PCA
例：分类问题，两种颜色代表不同的类，每一类都是高斯分布
若做PCA，投影方向很可能是一三方向（长轴），但这样投影，两种颜色的数据会全部融合在一起，完全分不开。而沿二四方向（短轴）投影是可以分开的，这是为什么？
原因：做PCA时是不考虑 label 的（即 class information：样本是属于A类还是B类），它是 Unsupervised Learning。因此，如果是有标签的数据，要用线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）
Q：如果将PCA应用于带标签的分类数据，效果视情况而定
Q：LDA与PCA最本质的区别是（ ）
能够降到的维数不同 计算效率不同 降维的目标不同
Q：关于 LDA 和 PCA 投影方向描述正确的是（ ）
必然相同 必然不同 LDA总是优于PCA 世事难料
2、LDA（Linear Discriminant Analysis，线性判别分析）
基本思路：降维，且要保留类的区分信息
，其中 x 为高维空间中分布的点，w 为投影方向（向量），y 为一维空间中的点，且尽可能分开
3、 可分性的度量
（1）不同 class 之间（between）距离尽可能远，同一 class 里（within）的数据尽可能紧凑
（2）Fisher准则
LDA目标：找投影方向使 J 最大化
4、数学推导
以上推导都是基于两分类问题
5、LDA的例子
6、多分类问题的LDA
LDA 容易被拓展到更多类的问题
假设 C 分类问题：
其中： 为所有样本的均值，
为第
类中样本的个数
LDA 可投影到 C-1 维，即 C-1 个特征向量的特征值不为0
PCA 算出的每个投影方向都是正交的，而 LDA 不一定
7、LDA的限制
（1）类间散布矩阵 矩阵的 rank 最大就是 C-1，只有 C-1 个特征值不为 0 的特征向量，所以它不能像 PCA 一样随意降到几维
（2）类内散布矩阵 可能是奇异的，即它的逆是不存在的。当样本个数低于维度时，它的逆不存在（此时可能需要先用 PCA 降维，然后再用 LDA）
（3）LDA在类的均值（中心点）重合的情况下效果不佳
Q：当样本个数小于数据维数时，LDA 不能正常工作的原因是（ ）
类间散布矩阵 不满秩
类内散布矩阵 不满秩
计算量过高
Fisher准则无意义
Q：当类中心重合的时候，LDA 不能正常工作的原因是（ ）
Fisher准则函数分母为0
类内散布矩阵 奇异
Fisher准则函数恒等于0
类间散布矩阵 不满秩
Q：对于二分类问题，LDA只能将原始数据降到一维的原因是（ ）
类间散布矩阵 秩为1
类内散布矩阵 秩为1
原始数据维度过高
原始数据维度过低
8 阅读材料
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