数字信号处理3——迷惑概念

一、方差、均方差（标准差）、协方差

二、功率谱、功率谱密度

三、什么是频谱分析

四、能量信号和功率信号

五、噪声功率谱密度和方差

六、线性检波和平方律检波

六、拉普拉斯变换、Z变换、傅里叶变换

七、为什么傅里叶变换出现负频率

八、为什么速度维、角度维FFT会出现正负频率

一、方差、均方差（标准差）、协方差、协方差的特征值

方差、标准差：表示数据的波动性和稳定性；协方差表示多维随机变量的相关性。

方差：sigma(r)平方 =

均方差（标准差）：

协方差：

协方差矩阵表示了样本集在原n维空间中各个方向上的能量分布，通过对协方差矩阵求特征向量，实际上找到的是在原n维空间中的一些特定的方向，样本集的能量集中分布在这些方向上，而特征值的大小就反映了样本集在该方向上的能量大小。各个特征向量表示轴向标准差，各个特征值的绝对值表示表示PCA正式基于这一点，删掉对应特征值小的方向，只保留主要的方向，达到降维的目的。

理解特征值：https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044

https://www.optbbs.com/thread-229078-1-1.html

二、功率谱、功率谱密度

解释1：https://www.ilovematlab.cn/thread-490485-1-1.html

功率谱（Power Spectrum，PS）：功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
功率谱密度：（Power Spectral Density，PSD）：维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。

关于时域信号傅里叶变换模平方然后除以时间长度，这个概念得到的是功率谱

PS=(FFT*FFT')/NFFT PSD=(FFT*FFT')/(NFFT *Fs) 其中’表示转置，NFFT为FFT点数，Fs为采样频率

解释2： https://zhidao.baidu.com/question/43845853.html

谱是傅里叶变换，对能量叫能量谱，对功率叫功率谱。功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
所以前者是标量，后者是复数数据，本质就不同，意义肯定不同

功率谱：随机过程的统计平均概念。

功率谱密度（PSD）：它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布

功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。

另一个解释：自谱密度函数是通过随机信号的均方值的谱密度来描述信号的频率结构，可称功率谱密度函数，简称功率谱

解释3.https://zhuanlan.zhihu.com/p/49328001

PSD——Power Spectral Density 是表征信号的功率能量与频率的关系的物理量。PSD经常用来研究随机振动信号。

PSD通常根据频率分辨率做归一化。PSD的意义就在于将不同频率分辨率下的数据归一化，排除了分辨率的影响，得到的PSD曲线趋势是一致的。

实践中，我们工程上一般这么应用：

1、PSD用于随机振动的数据处理

2、AutoPower(信号经FFT变换后的幅值)用于正弦数据的处理，比如：发动机谐波，齿轮振动等。

解释4.https://www.zhihu.com/question/29520851

An 是周期信号中频率为 nΩ₀ 的谐波分量的幅值，Pn = An²/2 是频率为 nΩ₀ 的谐波分量的功率。所以结论就是：周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和。容易理解，周期信号的功率是离散地分布在频率为基频 Ω₀ 整数倍的谐波分量上的（也就是说傅里叶变换后的各基向量系数）。

以三角函数对功率展开, 幅值 An 为实数，n 仅取正值，功率谱密度 G(ω) 为单边功率谱，如果以复指函数形式对功率展开，系数 Cn 为复数，而 n 取全体整数，功率谱密度 S(ω) 为双边功率谱，二者关系为：An = 2|Cn| = 2|C₋n|，G(ω) = 2S(ω)。

三、什么是频谱分析

对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。

四、能量信号和功率信号

预备知识：电压、电流、容量、能量、功率之间的关系

电压：伏特/V 电流：安/A，毫安/mA 容量：安时/Ah，毫安时/mAh 功率：瓦特/W 能量：瓦时/Wh，1000瓦时＝1度电

电压*电流＝功率；功率*时间＝能量；电流*时间＝容量；电压*容量＝能量；

信号f(t)的能量：

信号f(t)的功率：

这两种信号概念是建立在无穷大的时间积分的基础上的，能量就是信号的平方在区间(-∞,+∞)上的积分。

当E->∞大时称为能量无限信号，E<∞为能量有限信号；P<∞为有限功率信号，简称功率信号；能量和功率的概念之后，有三种组合存在：有限能量+零功率，无穷能量+有限功率，无穷能量+无穷功率

五、噪声功率谱密度和方差

功率谱密度与方差：数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即标准偏差的平方值

1.根据功率信号定义和前面方差的描述，对于高斯白噪声（如果一个噪声幅度符合高斯分布，功率谱密度是均匀的）均值为0，所以方差就是功率。

六、线性检波和平方律检波

检波：是指从已调信号中检出调制信号的过程。因此解调的目的是为了恢复被调制的信号。检波（detection）广义的检波通常称为解调，是调制的逆过程，即从已调波提取调制信号的过程。

概率密度：概率指事件随机发生的机率。对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，是非负的。

工程实际中，有一类信号叫做调幅波信号，这是一种用低频信号控制高频信号幅度的特殊信号。为了把低频信号取出来，需要专门的技术，叫做检波技术。根据调幅信号的大小，可分为大信号直线性检波和小信号平方律检波两种方式。平方律检波是一种非线性过程，检波器输出信号与输入信号的震荡包络的瞬时值的平方近似的成正比

由于噪声是随机变量，其特征可用概率密度函数表示，因此信号加噪声也是一随机变量。因此将输出看作上式计算出能量和自相关函数。主要记住它是用来检出载波即可！

六、拉普拉斯变换、Z变换、傅里叶变换

拉普拉斯变换解决了不满足绝对可积条件的连续信号，变换到频率域的问题，同时也对“频率”的定义进行了扩充。所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例

Z变换解决了不满足绝对可和条件的离散信号，变换到频率域的问题，同时也同样对“频率”的定义进行了扩充。所以Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系是：Z变换将频率从实数推广为复数，因而DTFT变成了Z变换的一个特例。

给出Z变换的定义：

，推到过程如下

由拉普拉斯变换过渡到Z变换：

x(nTs)由连续信号x(t)经过抽样得到

所以拉普拉斯变换得：

当上式中r=1时，得出离散傅里叶变换：

七、为什么傅里叶变换出现负频率

    从欧拉公式中可以看出，实信号中的一个频率在复指数信号中有一正一负频率与之对应。这样就能够从公式层面上解释了为什么傅里叶变换后会有和正频率一一对应的负频率了。所以在频谱分析的时候，频域上f，是复频域上的频率，而不是“实频域”上的频率。当用频率描述圆周运动时（即进入了二维信号平面），产生了角频率 ω”的概念，从机械旋转运动出发，定义为角速度，对于周期运动，角速度也就是角频率。通常 θ以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率就是顺时针旋转角速度。正、负号是非常自然形成的，没有物理意义的有无问题。只是余弦和ejw在不同域的表现形式不同而已。多普勒频率又是一个负频率的实例，如果信号的发射源向我们运动而来，那么多普勒频率就是正频率；如果信号的发射源向我们远离而去，那么多普勒频率就是负频率，在这里正负频率都是有明确物理意义的。多普勒频率虽是一种差频，它表现为合成信号的包络频率，因此仍然符合上述的原理，在实信号域只能求出多普勒频率的大小，但检测不出它的正负。要得到负频率，必须从复信号域考虑。可见，不懂得这一点，就无法找到多普勒测速的原理框图

八、为什么速度维、角度维FFT会出现正负频率

FMCW连续调频波基于相位差来计算目标的速度，发射两个间隔Tc的线性调频脉冲，对于距离R的目标其相位如下图所示

由于速度测量基于相位差，则会存在模糊性，在时具有非模糊性，即

由此得出最大范围

相位差有正有负，也是问题7中的多普勒频移的正负，角度在雷达极坐标系下的正负都有明确的物理含义。

距离维FFT为什么不会产生负频率，这是因为混频后的中频信号频率永远是大于0的。

九、谱估计

谱估计：对随机信号序列进行功率谱密度估计算法总称。

谱估计定义：

随机信号是不确定的，不能用清楚的数学式表达，只能根据随机过程理论，利用统计方法来进行分析。经常利用均值、均方值、相关函数和功率谱密度函数等统计量来描述随机过程的特征或随机信号的特性。

实际上，经常遇到的随机过程多是平稳随机过程而且是各态历经的，因而它的样本函数集平均可以根据某一个样本函数的时间平均来确定。

平稳随机信号本身虽仍是不确定的，但它的相关函数却是确定的。在均值为零时，它的相关函数的傅里叶变换或Z变换恰恰可以表示为随机信号的功率谱密度函数，一般简称为功率谱。可见随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频域和时域来描述随机信号的基本特性

相关函数：描述信号X(s),Y(t)（这两个信号可以是随机的，也可以是确定的）在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度，相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量

十、谐波与谐波分量

谐波定义：对周期性非正弦电量进行傅立叶级数分解，除了得到与基波频率相同的分量，还得到一系列大于基波频率的分量，这部分称为谐波。

基波：在振动学里认为一个振动产生的波是一个具有一定频率的振幅最大的正弦波叫基波。

谐波：高于基波频率的小波。

谐波是指对周期性非正弦交流量进行傅里叶级数分解所得到的大于基波频率整数倍的各次分量，通常称为高次谐波，而基波是指其频率与工频（50Hz）相同的分量

（https://www.sohu.com/a/242917713_403003）

十一、随机过程与平稳随机过程

总结：

由雷达方程可知，发射机以一定的功率发射信号，经过发射接收增益（天线设计），接收机接收带有一定功率的反射回波信号，CFAR检测是为了估计噪声功率；所以一切都是围绕功率进行的，因此衍生出的理论也是为了更好的得到功率谱（单位频带内信号功率能量随频率的变化关系）。

参考：

百度：功率谱和功率谱密度概念https://wenku.baidu.com/view/76d4820eecfdc8d376eeaeaad1f34693dbef107c.html

知乎：功率谱密度概念https://www.zhihu.com/question/29520851

能量信号与功率信号区别：https://blog.csdn.net/fengzhuqiaoqiu/article/details/101153157

功率谱密度与方差关系：https://wenku.baidu.com/view/e5a3db11ef630b1c59eef8c75fbfc77da26997d4.html#

平方律检波和线性检波：https://wenku.baidu.com/view/cebf947727c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ecb1.html

拉普拉斯变换、Z变换和傅里叶变换：https://www.jianshu.com/p/831faf3e965f

如何正确理解信号处理中的负频率：https://www.zhihu.com/question/24391035

https://zhidao.baidu.com/question/386869945.html?fr=ala&word=%E4%BF%A1%E5%8F%B7%E9%A2%91%E8%B0%B1%E8%B4%9F&device=mobile&ssid=94c7416c74796e61694b7139&from=844b&uid=0&pu=usm@0,sz@1320_2001,ta@iphone_1_10.0_3_602&bd_page_type=1&baiduid=7D6FD7258807884DFB6B9B50D6C4B246&tj=zhidao_4_0_10_l1