SICP 1.1节的标题是《The Elements of Programming》，分为如下几个小节，重点在于加粗的内容。

Expressions
Naming and the Environment
Evaluating Combinations
Compound Procedures
The Substitution Model for Procedure Application
Conditional Expressions and Predicates
Example: Square Roots by Newton’s Method
Procedures as Black-Box Abstractions

注：第二小节Naming and the Enviroment在编程语言设计中是单独的一部分内容，未来在些PLP的读书笔记时可能会涉及到，这一小节在SICP中着墨不多

1.1.3 Evaluating Combinations

Expressions such as these, formed by delimiting a list of expressions within parentheses in order to denote procedure application, are called combinations.

这一小节介绍了如何evaluate表达式组合，关于编程中的组合是什么意思见编程语言中的「组合性」是什么意思？。表达式组合最直观的理解就是如何一系列表达式的组合，如下scheme代码所示，就是用来求解22+322^2 + 3^222+32的值。

(+ (* 2 2) (* 3 3))

上面这个表达式就是由三个表达式组合而成的，如下图所示，由两个乘法(* 2 2)和(* 3 3)以及加法(+ (* 2 2) (* 3 3))组成。

这个和数学中的函数非常相似，例如我们定义两个数学函数，f(x,y)=x+yf(x, y) = x + yf(x,y)=x+y和g(x)=x∗xg(x) = x * xg(x)=x∗x，那么上面的计算就类似于求f(g(2),g(3))f(g(2), g(3))f(g(2),g(3))的结果。推荐一个比较方便的画数学函数图形的网站，我们将这两个函数放入其中，计算结果会是13。需要注意的是数学函数其实更接近于procedure的概念，而表达式组合，很简单，其实就是数学运算中的(2∗2)+(3∗3)(2 * 2) + (3 * 3)(2∗2)+(3∗3)。

注：到后面我们会发现函数式编程最终来源于邱奇的lambda演算，而命令式编程来源于图灵的图灵机，两者的计算能力等价的

对于表达式组合的求值，SICP给出了如下两个步骤的计算方法：

Evaluate the subexpressions of the combination.
Apply the procedure that is the value of the leftmost subexpression (the operator) to the arguments that are the values of the other subexpressions (the operands).

首先求解子表达式，然后将子表达式的值代入运算符，求得结果。对于f(g(2),g(3))f(g(2), g(3))f(g(2),g(3))来说，就是先计算g(2)g(2)g(2)和g(3)g(3)g(3)的值，也就是4和9，最终再求解f(4,9)f(4,9)f(4,9)。这个过程是递归进行的，也就是子表达式可能还有子表达式。例如求解g(g(2))g(g(2))g(g(2))，就是先求得g(2)g(2)g(2)

这一小节还提供了define的概念，define的概念可以理解为数学中定义函数的操作，例如下面的代码就类似于数学中的f(x)=9f(x)=9f(x)=9。

(define x 9)

1.1.4 Compound Procedures

当我们先按照数学函数的方式理解函数编程以后，一些东西就比较好理解了。

(define (square x) (* x x))
(define (sum-of-square x y) (+ (square x) (square y)))
(define (f a)(sum-of-squares (+ a 1) (* a 2)))

对于上面给出的示例代码，我们就可以使用数学中的函数进行理解，如下图所示，s(x)s(x)s(x)对应于square，f(x,y)f(x, y)f(x,y)对应于sum-of-square，而g(x)g(x)g(x)对应于f，而f(5)也能轻易的算出来为136。

1.1.5 The substitution Model for Procedure Application

这一小节主要介绍了我们如何求解procedure，首先介绍了substitution model，替换模型的核心如下，将过程体重的形参由实参值代替，也就是替换名字的由来。

To apply a compound procedure to arguments, evaluate the body of the procedure with each formal parameter replaced by the corresponding argument.

经过这一步骤以后，就可以转化为求表达式组合的问题，这一过程是递归的，表达式组合中可能也由procedure的求解，此时仍然需要做替换。

(define (square x) (* x x))
(define (sum-of-square x y) (+ (square x) (square y)))
(define (f a)(sum-of-squares (+ a 1) (* a 2)))
(f 5)

对于上述代码，要求f(5)f(5)f(5)，首先进行替换，得到如下代码：

(sum-of-squares (+ 5 1) (* 5 2))

此时就是表达式组合问题，先求解子表达式值，如下代码：

(sum-of-squares 6 10)

此时又需要进行替换，将sum-of-squares中的形参由实参值代替，如下所示：

(+ (square 6) (square 10))

这种方式就称之为Applicative Order的求解，也就是

the interpreter first evaluates the operator and operands and then applies the resulting procedure to the resulting arguments.

我们使用前面提到的函数g(x)g(x)g(x)来说明Applicative Order和Normal Order的区别。

Applicative Order	Normal Order
f(5+1,5∗2)f(5 + 1, 5 * 2)f(5+1,5∗2)	f(5+1,5∗2)f(5 + 1, 5 * 2)f(5+1,5∗2)
f(6,10)f(6, 10)f(6,10)	f(5+1,5∗2)f(5 + 1, 5 * 2)f(5+1,5∗2)
(s(6)+s(10))(s(6) + s(10))(s(6)+s(10))	(s(5+1)+s(5∗2))(s(5 + 1) + s (5 * 2))(s(5+1)+s(5∗2))
((6∗6)+(10∗10))((6 * 6) + (10 * 10))((6∗6)+(10∗10))	((5+1)∗(5+1)+(5∗2)∗(5∗2))((5+1) * (5 + 1) + ( 5 * 2) * (5 * 2))((5+1)∗(5+1)+(5∗2)∗(5∗2))
(36+100)(36 + 100)(36+100)	(6∗6+10∗10)(6 * 6 + 10 * 10)(6∗6+10∗10)
136136136	136136136

从上面我们可以看到Applicative Order比Normal Order要高效，这也是scheme采用Applicative Order的原因。

习题

Exercise 1.5

由于scheme采用的是Applicative Order，所以下面的代码永远也不会结束，基于substitution model一直在使用(p)替换(p)。但是采用Normal Order就不会出现这样的问题。

(define (p) (p)) (define (test x y)(if (= x 0) 0 y))(test 0 (p))

Exercise 1.6

类似于Exercise 1.5，下面的代码永远也不会终止。

(define (new-if predicate then-clause else-clause) (cond (predicate then-clause)(else else-clause)))(define (sqrt-iter guess x) (new-if (good-enough? guess x)guess(sqrt-iter (improve guess x) x)))

因为new-if是procedure，按照Applicative Order，首先会evaluate argument，例如我们尝试将(sqrt-iter guess x)展开得到下面的代码，good-enough能够evaluate直接得到结果，guess也可以直接得到结果，而sqrt-iter会继续evaluate new-if，所以scheme解释器在处理这一段代码时出现了没有终止条件的递归，最终会爆栈。

(new-if (good-enough? guess) guess (sqrt-iter(improve guess x) x))^             ^                     ^predicate      then-clause          else-clause

Exercise 1.7

这个问题比较tricky，good-enough?在处理很小的数值时不够精确可以理解，因为小数的平方会更小，所以此时将判断条件附加到平方结果上效果不是很好，例如我们使用0.001来作为判断标准，例如0.0012=0.000010.001^2 = 0.000010.0012=0.00001，0.0022=0.000040.002^2 = 0.000040.0022=0.00004。而对于特别大的数据，请访问 https://sukritkalra94.wordpress.com/2014/05/26/sicp-exercise-1-7-problems-with-good-enough/ 。

This is because floats have a fixed precision. After a certain point, the guesses are unable to guess the square root of a number within 0.001 of the answer. At that point, they alternate between the two guesses, both of whose squares are more than 0.001 away from the argument.

Exercise 1.8

(define (good-enough? old-guess new-guess)(< (abs (- old-guess new-guess)) 0.001))(define (improve guess x)(/ (+ (/ x (* guess guess))(* 2 guess))3))(define (cube-iter guess x)(if (good-enough? guess (improve guess x))guess(cube-iter (improve guess x) x)
))(define (cube-root x)(cube-iter 1.0 x))(cube-root 10000000000)

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